Вікі-стаття "Зірчасті многогранники"
Зміст
Назва проекту
Многогранники навколо нас.
Автори проекту
Група учнів 11 класу
Тема дослідження
Зірчасті многогранники
Проблема дослідження
Що таке зірчасті многогранники?
Гіпотеза дослідження
Зірчасті многогранники-це такі тіла,які схожі на зірки.
Мета дослідження
Дослідити та проаналізувати зірчасті многогранники
Результати дослідження
Зірчастий багатогранник (зірчасті тіло) - це неопуклих багатогранник, грані якого перетинаються між собою. Як і у незвездчатих багатогранників межі попарно з'єднуються в ребрах, при цьому внутрішні лінії перетину не вважаються ребрами.
Зірчастої формою багатогранника називається багатогранник, отриманий шляхом продовження граней даного багатогранника через ребра до їх наступного перетину з іншими гранями за новими ребрах.
Правильні зірчасті багатогранники - це зірчасті многогранники, гранями яких є однакові правильні або зірчасті багатокутники. Коші встановив, що існує всього 4 правильних зірчастих тіла, які не є сполуками платонових і зірчастих тіл, звані тілами Кепплера-Пуансо: всі 3 зірчастих форми Додекаедр і одна з зірчастих форм ікосаедра. Решта правильні зірчасті многогранники є або з'єднаннями платонових тіл, або з'єднаннями тел Кепплера-Пуансо.
На даних малюнках кожна грань для краси і наочності пофарбована власним кольором. Існує тільки одна зірчаста форма октаедра. Зірчастий октаедр був відкритий Леонардо да Вінчі, потім через майже 100 років перевідкритий Іоганном Кеплером, і названий ним Stella octangula - зірка восьмикутна. Звідси ця форма має і другу назву "stella octangula Кеплера". По суті вона є з'єднанням двох тетраедрів. Ікосаедр має двадцять граней. Якщо кожну з них продовжити необмежено, то тіло буде оточено великим різноманіттям відсіків - частин простору, обмежених площинами граней. Всі зірчасті форми ікосаедра можна отримати додаванням до вихідного тілу таких відсіків. Не рахуючи самого ікосаедра, продовження його граней відокремлюють від простору 20 +30 +60 +20 +60 +120 + 12 +30 +60 +60 відсіків десяти різних форм і розмірів. Великий ікосаедр (див. рис) складається з усіх цих шматків, за винятком останніх шістдесяти. Кубооктаедр - напівправильні багатогранник, що складається з 14 граней (8 правильних трикутників і 6 квадратів). У кубооктаедре 12 однакових вершин, в яких сходяться два трикутники і два квадрати, а також 24 однакових ребра, кожне з яких розділяє трикутник і квадрат. Двоїстий до кубооктаедру багатогранник - ромбододекаедр.
Для кубооктаедра з довжиною ребра a можна висловити деякі кількісні характеристики:
обсяг : V = \ frac {5a ^ 3} {3} \ sqrt {2};
площа : S = 2a ^ 2 (3 + \ sqrt {3}).
