Розробка урока

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ №1

1. Обчислити визначник  : а) розклавши його по елементах -го рядка; б) розклавши його по елементах -го стовпця; в) отримавши попередньо нулі в -му рядку; г) привівши його до трикутного вигляду; д) використати теорему Лапласа.

,  ,  .

Розв’язання. а) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах рядка:

.

б) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах стовпця:

.

в) Застосуємо властивості визначників, а потім теорему про розклад визначника по елементах рядка, отримаємо:

.

г) Застосуємо властивості визначників, отримаємо:

.

д) Застосуємо теорему Лапласа:

.

2. Знайти розв’язок матричного рівняння двома способами, якщо

,	 .

Розв’язання. І спосіб. Запишемо розв’язок рівняння у вигляді: . Знайдемо обернену матрицю, тобто , за допомогою алгебраїчних доповнень:

.

Обчислимо алгебраїчні доповнення:

,  ,  ,
,  ,  ,
,  ,  .

Будемо мати: . Підставимо та отримаємо:

.

Таким чином, . ІІ спосіб. Запишемо розширену матрицю та приведемо її до ступінчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків:

.

Таким чином, .

3. Перевірити на сумісність систему рівнянь й у випадку сумісності розв’язати її: а) методом Гаусса; б) по формулах Крамера; в) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

Розв’язання. а) Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:

.

Будемо мати, що система сумісна і має єдиний розв’язок. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:

б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера. Для цього обчислимо визначники:

,
,
,
.

Будемо мати: , , . в) Розв’яжемо систему засобами матричного числення. Для цього перепишемо систему в матричному вигляді: , де , , . Розв’язок буде: . Знайдемо обернену матрицю, тобто , за допомогою елементарних перетворень: Обчислимо алгебраїчні доповнення:

.

Будемо мати: . Підставимо та отримаємо:

.

4. Знайти загальний та один частинний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язання. Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:

.

Будемо мати, що система сумісна і має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:

 – загальний розв’язок системи;
 – частинний розв’язок системи.

5. Виконати дії: а) , якщо , ,  ; б) знайти значення многочлена від матриці .

Розв’язання. а) Знайдемо , , , ,  :

;
;

,
;
.

б) значення многочлена від матриці А буде мати вигляд: . Знайдемо , , ,  :

;
;
;

.

6. Розв’язати рівняння: а)  ; б)  ; в) .

Розв’язання. а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:

,
,
,
,
,
,  .

б) Обчислимо визначник:

,
,
,
,
.

в) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:

,
,
,
,
,
,
,  .

7. Розв’язати нерівності: а)  ; б) .

Розв’язання. а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:

,
,
,
,
,
.

б) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:

,
,
,
,
,
,
.

8. Знайти: 1) матрицю переходу від базису до базису  ; 2) матрицю переходу від базису до базису  ; 3) координати вектора в базисі  ; 4) координати вектора в базисі .

,  ,  ;  ,  ,  ;  .

Розв’язання. 1) Для знаходження матриці переходу від базису до базису скористаємось матричним рівнянням . Розв’яжемо його:

.

Будемо мати: . 2) Для знаходження матриці переходу від базису до базису скористаємось формулою . Знайдемо  :

.

Таким чином, . 3) Для знаходження координат вектора в базисі скористаємось означенням координат вектора в базисі:

.

Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

розв’яжемо яку методом Крамера:

,		 ,
,		 ;
,  ,  .

Таким чином, в базисі вектор має координати . 4) Для знаходження координат вектора в базисі скористаємось означенням координат вектора в базисі:

.

Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

розв’яжемо яку методом Крамера:

,		 ,
,		 ;
,  ,  .

Таким чином, в базисі вектор має координати .

9. Знайти розмірність та базис суми й перетину підпросторів і , якщо , ,  ; , .

Розв’язання. Знайдемо розмірність підпросторів , і . Для цього запишемо матриці, побудовані з координат векторів та за допомогою елементарних перетворень приведемо їх до ступінчастого вигляду:

, базис  ;
, базис  ;

, базис  .

Таким чином, будемо мати, що . Вектор базису перетину належить й базису підпростору й базису підпростору , тобто його можна записати у вигляді

.

Підставимо замість векторів їх координати, отримаємо однорідну СЛАР:

 або  

Знайдемо її ФСР:

.

Загальний розв’язок:

ФСР: . Таким чином,

,
,
,

отже вектор – шуканий вектор базису перетину .

10. Знайти розклад елемента простору по базису , , , .

Розв’язання. За означенням, розклад елемента по базису має вигляд:

або в нашому випадку

.

Інакше кажучи, треба знайти коефіцієнти в розкладі многочлена по степенях . Для пошуку коефіцієнтів скористаємось схемою Горнера:

3 0 7 1 25 3 75 1882 47051 25 3 150 5632 25 3 225 25 3 Будемо мати:

або

.

11. Вказати який-небудь базис простору квадратних матриць третього порядку та знайти розклад елемента по цьому базису.

Розв’язання. В якості прикладу візьмемо стандартний базис простору всіх квадратних матриць третього порядку:

,  ,  ,  ,  ,
,  ,  ,  .

Тоді матриця у вказаному базисі буде мати розклад:

або

.

12. Знайти загальний розв’язок та ФСР однорідної СЛАР:

Розв’язання. Приведемо матрицю системи до ступінчастого виду:

.

Будемо мати, що система має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:

 – загальний розв’язок системи;
 або   – фундаментальна система розв’язків.