Розробка урока
ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ №1
1. Обчислити визначник : а) розклавши його по елементах -го рядка; б) розклавши його по елементах -го стовпця; в) отримавши попередньо нулі в -му рядку; г) привівши його до трикутного вигляду; д) використати теорему Лапласа.
, , .
Розв’язання. а) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах рядка:
.
б) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах стовпця:
.
в) Застосуємо властивості визначників, а потім теорему про розклад визначника по елементах рядка, отримаємо:
.
г) Застосуємо властивості визначників, отримаємо:
.
д) Застосуємо теорему Лапласа:
.
2. Знайти розв’язок матричного рівняння двома способами, якщо
, .
Розв’язання. І спосіб. Запишемо розв’язок рівняння у вигляді: . Знайдемо обернену матрицю, тобто , за допомогою алгебраїчних доповнень:
.
Обчислимо алгебраїчні доповнення:
, , , , , , , , .
Будемо мати: . Підставимо та отримаємо:
.
Таким чином, . ІІ спосіб. Запишемо розширену матрицю та приведемо її до ступінчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків:
.
Таким чином, .
3. Перевірити на сумісність систему рівнянь й у випадку сумісності розв’язати її: а) методом Гаусса; б) по формулах Крамера; в) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);
Розв’язання.
а) Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:
.
Будемо мати, що система сумісна і має єдиний розв’язок. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:
б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера. Для цього обчислимо визначники:
, , , .
Будемо мати: , , . в) Розв’яжемо систему засобами матричного числення. Для цього перепишемо систему в матричному вигляді: , де , , . Розв’язок буде: . Знайдемо обернену матрицю, тобто , за допомогою елементарних перетворень: Обчислимо алгебраїчні доповнення:
.
Будемо мати: . Підставимо та отримаємо:
.
4. Знайти загальний та один частинний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
Розв’язання.
Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:
.
Будемо мати, що система сумісна і має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:
– загальний розв’язок системи; – частинний розв’язок системи.
5. Виконати дії:
а) , якщо , , ;
б) знайти значення многочлена від матриці .
Розв’язання. а) Знайдемо , , , , :
; ; , ; .
б) значення многочлена від матриці А буде мати вигляд: . Знайдемо , , , :
; ; ; .
6. Розв’язати рівняння:
а) ; б) ; в) .
Розв’язання. а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
, , , , , , .
б) Обчислимо визначник:
, , , , .
в) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
, , , , , , , .
7. Розв’язати нерівності:
а) ; б) .
Розв’язання. а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
, , , , , .
б) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
, , , , , , .
8. Знайти:
1) матрицю переходу від базису до базису ;
2) матрицю переходу від базису до базису ;
3) координати вектора в базисі ;
4) координати вектора в базисі .
, , ; , , ; .
Розв’язання. 1) Для знаходження матриці переходу від базису до базису скористаємось матричним рівнянням . Розв’яжемо його:
.
Будемо мати: . 2) Для знаходження матриці переходу від базису до базису скористаємось формулою . Знайдемо :
.
Таким чином, . 3) Для знаходження координат вектора в базисі скористаємось означенням координат вектора в базисі:
.
Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
розв’яжемо яку методом Крамера:
, , , ; , , .
Таким чином, в базисі вектор має координати . 4) Для знаходження координат вектора в базисі скористаємось означенням координат вектора в базисі:
.
Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
розв’яжемо яку методом Крамера:
, , , ; , , .
Таким чином, в базисі вектор має координати .
9. Знайти розмірність та базис суми й перетину підпросторів і , якщо , , ; , .
Розв’язання. Знайдемо розмірність підпросторів , і . Для цього запишемо матриці, побудовані з координат векторів та за допомогою елементарних перетворень приведемо їх до ступінчастого вигляду:
, базис ; , базис ; , базис .
Таким чином, будемо мати, що . Вектор базису перетину належить й базису підпростору й базису підпростору , тобто його можна записати у вигляді
.
Підставимо замість векторів їх координати, отримаємо однорідну СЛАР:
або
Знайдемо її ФСР:
.
Загальний розв’язок:
ФСР: . Таким чином,
, , ,
отже вектор – шуканий вектор базису перетину .
10. Знайти розклад елемента простору по базису , , , .
Розв’язання. За означенням, розклад елемента по базису має вигляд:
або в нашому випадку
.
Інакше кажучи, треба знайти коефіцієнти в розкладі многочлена по степенях . Для пошуку коефіцієнтів скористаємось схемою Горнера:
3 0 7 1
25 3 75 1882 47051
25 3 150 5632
25 3 225
25 3
Будемо мати:
або
.
11. Вказати який-небудь базис простору квадратних матриць третього порядку та знайти розклад елемента по цьому базису.
Розв’язання. В якості прикладу візьмемо стандартний базис простору всіх квадратних матриць третього порядку:
, , , , , , , , .
Тоді матриця у вказаному базисі буде мати розклад:
або
.
12. Знайти загальний розв’язок та ФСР однорідної СЛАР:
Розв’язання.
Приведемо матрицю системи до ступінчастого виду:
.
Будемо мати, що система має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:
– загальний розв’язок системи; або – фундаментальна система розв’язків.