Перегляд вихідного коду сторінки Розробка урока

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ №1


1.	Обчислити визначник  : а) розклавши його по елементах  -го рядка; б) розклавши його по елементах  -го стовпця; в) отримавши попередньо нулі в  -му рядку; г) привівши його до трикутного вигляду; д) використати теорему Лапласа.
 ,  ,  .

Розв’язання.
а) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах рядка:
 
 
 .
б) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах стовпця:
 
 
 .
в) Застосуємо властивості визначників, а потім теорему про розклад визначника по елементах рядка, отримаємо:
 
 .
г) Застосуємо властивості визначників, отримаємо:
 
 
 .
д) Застосуємо теорему Лапласа:
 
 
 
 
 .


2.	Знайти розв’язок матричного рівняння   двома способами, якщо
 ,	 .

	Розв’язання.
	І спосіб.
	Запишемо розв’язок рівняння у вигляді:  . Знайдемо обернену матрицю, тобто  , за допомогою алгебраїчних доповнень:
 .
Обчислимо алгебраїчні доповнення:
 ,  ,  ,
 ,  ,  ,
 ,  ,  .
	Будемо мати:  . Підставимо та отримаємо:
 
 
 
 .
Таким чином,  .
	ІІ спосіб.
	Запишемо розширену матрицю та приведемо її до ступінчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків:
 
 
 
 .
Таким чином,  .


3.	Перевірити на сумісність систему рівнянь й у випадку сумісності розв’язати її: а) методом Гаусса; б) по формулах Крамера; в) за допомогою оберненої матриці (матричним методом); 
 

	Розв’язання.
	а) Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:
 
 .
Будемо мати, що  система сумісна і має єдиний розв’язок. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:
 
	б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера. Для цього обчислимо визначники:
 ,
 ,
 ,
 .
	Будемо мати:  ,  ,  .
	в) Розв’яжемо систему засобами матричного числення. Для цього перепишемо систему в матричному вигляді:  , де  ,  ,  . Розв’язок буде:  . Знайдемо обернену матрицю, тобто  , за допомогою елементарних перетворень:
Обчислимо алгебраїчні доповнення:
 
 
 
 .
	Будемо мати:  . Підставимо та отримаємо:
 
 .


4.	Знайти загальний та один частинний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
 

	Розв’язання.
	Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:
 
 .
Будемо мати, що  система сумісна і має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:
 
  – загальний розв’язок системи;
  – частинний розв’язок системи.


5.	Виконати дії:
а)  , якщо  ,  ,  ;
б) знайти значення многочлена   від матриці  .

	Розв’язання.
а) Знайдемо  ,  ,  ,  ,  :
 
 
 ;
 ;
 
 ,
 ;
 .
	б) значення многочлена від матриці А буде мати вигляд:  . Знайдемо  ,  ,  ,  :
 
 
 ;
 ;
 ;
 
 .


6.	Розв’язати рівняння:
а)  ;	б)  ;	в)  .

	Розв’язання.
а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,  .
б) Обчислимо визначник:
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
в) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,  .


7.	Розв’язати нерівності:
а)  ;		б)  .

	Розв’язання.
а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .
б) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 .


8.	Знайти: 
1)	матрицю переходу від базису   до базису  ;
2)	матрицю переходу від базису   до базису  ;
3)	координати вектора   в базисі  ; 
4)	координати вектора   в базисі  .
 ,  ,  ;  ,  ,  ;  .

Розв’язання.
1)	Для знаходження матриці переходу від базису   до базису   скористаємось матричним рівнянням  . Розв’яжемо його:
 
 
 .
Будемо мати:  . 
2)	Для знаходження матриці переходу від базису   до базису   скористаємось формулою  . Знайдемо  :
 
 
 
 .
Таким чином,  .
3)	Для знаходження координат вектора   в базисі   скористаємось означенням координат вектора в базисі:
 .
Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
 
розв’яжемо яку методом Крамера:
 ,		 ,
 ,		 ;
 ,  ,  .
Таким чином, в базисі   вектор   має координати  .
4)	Для знаходження координат вектора   в базисі   скористаємось означенням координат вектора в базисі:
 .
Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
 
розв’яжемо яку методом Крамера:
 ,		 ,
 ,		 ;
 ,  ,  .
Таким чином, в базисі   вектор   має координати  .


9.	Знайти розмірність та базис суми й перетину підпросторів   і  , якщо  ,  ,  ;  ,  .

Розв’язання.
Знайдемо розмірність підпросторів  ,   і  . Для цього запишемо матриці, побудовані з координат векторів та за допомогою елементарних перетворень приведемо їх до ступінчастого вигляду:
 
 , базис  ;
 , базис  ;
 
 , базис  .
Таким чином, будемо мати, що  .
	Вектор базису перетину належить й базису підпростору   й базису підпростору  , тобто його можна записати у вигляді
 .
Підставимо замість векторів їх координати, отримаємо однорідну СЛАР:
  або  
Знайдемо її ФСР:
 
 .
Загальний розв’язок:
  
ФСР:  .
	Таким чином,
 ,
 ,
 ,
отже вектор   – шуканий вектор базису перетину  .


10.	Знайти розклад елемента   простору   по базису  ,  ,  ,  .

	Розв’язання.
	За означенням, розклад елемента по базису має вигляд:
 
або в нашому випадку
 .
Інакше кажучи, треба знайти коефіцієнти в розкладі многочлена   по степенях  . Для пошуку коефіцієнтів скористаємось схемою Горнера:


	3	0	7	1
25	3	75	1882	47051
25	3	150	5632	
25	3	225		
25	3			
Будемо мати:
 
або
 .


11.	Вказати який-небудь базис простору квадратних матриць третього порядку та знайти розклад елемента   по цьому базису.

	Розв’язання.
	В якості прикладу візьмемо стандартний базис простору всіх квадратних матриць третього порядку:
 ,  ,  ,  ,  ,
 ,  ,  ,  .
Тоді матриця   у вказаному базисі буде мати розклад:
 
 
або
 .


12.	Знайти загальний розв’язок та ФСР однорідної СЛАР:
 

	Розв’язання.
	Приведемо матрицю системи до ступінчастого виду:
 
 .
Будемо мати, що  система має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:
 
  – загальний розв’язок системи;
  або   – фундаментальна система розв’язків.