Wiki-стаття "Дещо про розв’язування прямокутних трикутників"
Зміст
Назва проекту
Скарбничка прямокутного трикутника
Автори проекту
ІІІ група 8 класу
Тема дослідження
Дещо про розв’язування прямокутних трикутників
Проблема дослідження
Чи можна за двома елементами прямокутного трикутника знайти всі невідомі сторони та кути?
Гіпотеза дослідження
Якщо відомі дві сторони прямокутного трикутника, чи сторона і гострий кут, то можна знайти всі інші сторони і кути даного трикутника.
Мета дослідження
Дослідити метричні та тригонометричні відношення в прямокутному трикутнику та навчитись використовувати їх для знаходження невідомих сторін та кутів.
Результати дослідження
Трику́тник у евклідовій геометрії — три точки, що не лежать на одній прямій, і три відрізки, що їх сполучають. Трикутник з вершинами A, B, і C позначається ABC. Трикутник є многокутником. В евклідовій геометрії трикутник однозначно задає площину. Всі трикутники двовимірні.
Основні відомості про трикутники були наведені Евклідом в його праці «Елементи» біля 300 до н. е.
Типи трикутників Трикутники можна класифікувати в залежності від відносної довжини його сторін: • В рівносторонньому трикутнику всі сторони мають однакову довжину. Всі кути рівностороннього трикутника також рівні і дорівнюють 60°. Рівносторонній трикутник ще називають правильним. • В рівнобедреному трикутнику дві сторони мають однакову довжину, третя сторона при цьому називається основою трикутника. Рівнобедрений трикутник також має однакові кути, які знаходяться при його основі. • Різносторонній трикутник має сторони різної довжини. Внутрішні кути різностороннього трикутника різні.
Також трикутники можна класифікувати відповідно до їх внутрішніх кутів:
• Прямокутний трикутник має один внутрішній кут рівний 90° (прямий кут). Сторона, протилежна до прямого кута, називається гіпотенуза. Інші дві сторони називаються катетами прямокутного трикутника. • Тупокутний трикутник має один внутрішній кут більший ніж 90°. • В гострокутному трикутнику всі кути менші за 90°. Рівносторонній трикутник є гострокутним, але не всі гострокутні трикутники рівносторонні. Основні факти Вершини трикутника зазвичай позначають великими латинськими літерами A, B, C, кути при відповідних вершинах грецькими літерами α, β, γ, а довжини протилежних сторін — маленькими латинськими літерами a, b, c.
Сума внутрішніх кутів трикутника — 180 градусів. Зовнішній кут трикутника (кут суміжний до внутрішнього кута) завжди дорівнює сумі двох інших внутрішніх кутів трикутника. Як і у всіх випуклих багатогранників сума зовнішніх кутів трикутника 360 градусів.
Нерівність трикутника:
Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника завжди перевищує довжину третьої сторони. Це є нерівність трикутника або аксіома трикутника (В окремому випадку рівності два кути зменшуються до нуля і трикутник вироджується у відрізок).
Подібні трикутники Два трикутники називаються подібними тоді і тільки тоді, якщо кути одного рівні відповідним кутам іншого. В такому випадку довжини відповідних сторін пропорційні. Так може бути наприклад, коли у двох трикутників є спільний кут, а сторони протилежні цьому куту — паралельні. Ось кілька ознаків подібних трикутників: • Два трикутники подібні, якщо в них хоча б два відповідних кута рівні. • Якщо дві відповідні сторони в трикутниках пропорційні, а кут між ними однаковий, то трикутники подібні. • Якщо всі сторони двох трикутників пропорційні, то трикутники подібні. Обчислення сторін та кутів Властивості прямокутного трикутника Загалом, є різноманітні прийняті методи обчислення довжин сторін та кутів. Якщо певні методи можуть бути використані тільки в прямокутному трикутнику, то інші можуть виявитись необхідними для складніших випадків.
Метричні відношення в прямокутному трикутнику
Медіана, проведена із вершини прямого кута, дорівнює половині гіпотенузи. Її основа являється центром описаного навколо прямокутного трикутника кола.. Тригонометричні функції показують співвідношення між довжинами сторін і внутрішніми кутами в прямокутному трикутнику. Висота прямокутного трикутника. Якщо висота проведена з вершини з прямим кутом до гіпотенузи, то трикутник ділиться на два менші трикутники, подібних початковому і подібних один до одного. З цього виходить: • Висота є середнє геометричне двох сегментів гіпотенузи. • Кожен катет трикутника є середнє пропорційне гіпотенузи і суміжних сегментів. Тобто справедливі співвідношення:
Теорема Піфагора.
В прямокутному трикутнику сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а сторона, що лежить проти прямого кута – гіпотенузою. В прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів
, або
Із теореми випливає, що ,
Тригонометричні відношення в прямокутних трикутника У прямокутних трикутниках тригонометричні співвідношення — синус, косинус і тангенс можуть використовуватись, щоб знайти невідомі кути чи невідомі довжини сторін.
Тригонометричні функції показують співвідношення між довжинами сторін і внутрішніми кутами в прямокутному трикутнику. Синус, косинус і тангенс Синус кута — це відношення довжини протилежного катета до довжини гіпотенузи. Косинус кута — це відношення довжини прилеглого катета до довжини гіпотенузи Тангенс кута — це відношення довжини протилежного катета до довжини прилеглого.
Для даного малюнка: ,
Розв’язування прямокутних трикутників
Якщо в прямокутному трикутнику відомі дві величини, то користуючись властивостями , можна знайти всі невідомі сторони і кути.
Висновки
Дослідивши метричні та тригонометричні відношення в прямокутному трикутнику, ми з’ясували, що якщо відомі дві сторони прямокутного трикутника, чи сторона і гострий кут, то можна знайти всі інші сторони і кути даного трикутника.
Корисні ресурси
• Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1 • Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004, ISBN 966-7091-66-Х. • І. А. Кушнір. Трикутник і тетраедр в задачах. — Київ: Радянська школа, 1991, ISBN 5-330-02081-6 • І. А. Кушнір. Повернення втраченої геометрії. — Київ: Факт, 2000 ISBN 966-7274-75-5 • Погорєлов О. В. Геометрія. Підручник. для 7 — 9 кл. — Київ: Школяр, 2004 • Трикутник на сайті Formula.co.ua — математика для школи • Геометрія, 7-9 класи. Трикутник на сайті «Острів знань». • Формули для трикутника на сайті Geometry Atlas.(англ.)
