Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком"
Зміст
Назва проекту
ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ
Автори проекту
Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна, Калиненко Микола Валентинович
Тема дослідження
Функція. Її графік.
Проблема дослідження
Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.
Гіпотеза дослідження
Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця
Мета дослідження
Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.Дослідити історію розвитку поняття "функція" та властивостей функції.
Результати дослідження
На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної: Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем; Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола; Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість; Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму; Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму; Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска; Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що: температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:
| Час вимірювання температури | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
| Температура повітря |
-4 |
-6 |
-6,5 |
-7 |
-6,5 |
-6 |
-5 |
-3,5 |
-2 |
0 | 1 | 1,5 | 2 | 3 | 3,5 | 4 | 4,5 | 3 | 2 | 1,5 | 1,5 | 1 | 0 |
-1 |
-2 |
За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.
За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і
Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції. Можна сказати інакше. Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення. Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)
На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією? розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.
Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком. У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення. «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат. В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів. Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.
Історія розвитку поняття “функція”
Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.
Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.) Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п.
Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y). Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s). Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу. В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”. Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції. Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями? Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.
Ідея відповідності (19 століття). В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”. Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”. Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x). Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.
Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...). Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.
Висновки
В результаті нашого дослідеження ми дізналися, що існує багато процесів, які можна описувати за допомогю правил, що мають назву функціональної залежності або функції. З'ясували, що на даний момент ми не можемо визначити правила за якими змінюється темперетура повітря. У світі існує багато функцій, вивченню яких буде присвячено навчання в наступних класах.
Корисні ресурси
http://ibookiltd.host-bloger.ru/storja-rozvitku-ponjattja-funkcja
