Учнівська вікі-стаття на тему: "Способи знаходження значень квадратних коренів"
Зміст
Назва проекту
Квадратний корінь, який він?
Автори проекту
Теоретики
Тема дослідження
Способи здобування квадратних коренів
Проблема дослідження
Вивчити алгоритм здобування квадратного кореня без використання калькулятора
Гіпотеза дослідження
Ми вважаємо, що вивчення алгоритму розвине логічне мислення учнів, які будуть його використовувати
Мета дослідження
Записати алгоритм здобування квадратного кореня в стовпчик
Результати дослідження
Квадратний корінь з числа x — це таке число (матриця, функція, оператор і т. п.), квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює x. Квадратний корінь часто називають просто корінь.
Серед чисел, квадрат яких дорівнює додатному числу, обов'язково є додатне число(крім 0) Це число називається арифметичним значенням квадратного кореня.
існує безліч алгоритмів для знаходження квадратного кореня з 2. В результаті алгоритма отримується приблизне значенняе у вигляді звичайного дробу або десяткового дробу. Популярний алгоритм для цього, який використовується в багатьох компьютерах и калькуляторах, це вавілонський метод обчислення квадратних коренів. Він виглядає таким чином:
Чим більше повторень в алгоритмі (тобто, чим больше «n»), тим краще наближення квадратного корня з двох. Кожне повторення приблизно подвоює кількість вірних цифр. Декілька перших наближень:
- 3/2 = 1.5
- 17/12 = 1.416…
- 577/408 = 1.414215…
- 665857/470832 = 1.4142135623746…
В 1997 году Ясумаса Канада обчислив значення √2 до 137 438 953 444 десяткових знаків після коми. В лютому 2007 года Сигеру Кондо обрахував 200 міліардів десяткових знаків після коми за 13 днів і 14 годин.
Алгоритм здобування кореня стовпчиком Цей спосіб дозволяє знайти наближене значення кореня з будь-якого дійсного числа з будь-якою наперед заданою точністю.
Для ручного вилучення кореня застосовується запис, схожий на ділення стовпчиком. Нехай здобувається корінь з цілого числа А. На відміну від ділення знесення проводиться групами по дві цифри, причому групи слід відзначати, починаючи з десяткової коми(в обидві сторони), дописуючи необхідну кількість нулів.
Знайти an, квадрат якого найбільш близько підходить до групи старших розрядів числа, залишаючись менше останнього.
Провести віднімання із старших розрядів квадрата A числа an.
Подвоїти an.
Зрушити залишок від віднімання на 2 розряди вліво, а величину 2an - на один розряд вліво. Під зсувом у даному алгоритмі розуміється множення/ділення на ступені 10, що відповідно є зрушенням вліво і вправо.
Приписати праворуч від залишку обчислення два наступних старших розряди числа А.
Порівняти отримане число з нулем.
Якщо отримане число не дорівнює 0, то знайти таке 2an-1, яке, будучи помноженим на (2an10+an-1) дасть у результаті число, менше отриманого на четвертому кроці, але найбільш близьке до нього за значенням. Перейти до п. 3.
Якщо в п. 6 отримано рівність , то перейти до п. 4 , попередньо приписавши праворуч від an нуль.
Після отримання кількості цифр, рівній n/2 , припинити обчислення (якщо потрібно ціле значення ) або продовжувати до необхідної точності, записуючи отримувані цифри після коми.
Описана послідовність дій в математиці отримала назву алгоритму здобування квадратного кореня.
1 . Щоб витягти квадратний корінь з даного цілого числа , розбивають його справа наліво на межі , по дві цифри в кожній , крім першої ( крайній лівій ) , в якій може бути і одна цифра.
2 . Щоб знайти першу цифру кореня , витягують квадратний корінь з першої грані.
3 . Щоб знайти другу цифру, з першої грані віднімають квадрат першої цифри кореня, до залишку зносять другу грань і число десятків числа, що вийшло ділять на подвоєну першу цифру кореня ; отримане ціле число знову піддають випробуванню.
4 . Випробування проводиться так : за вертикальною рисою (ліворуч від залишку ) пишуть подвоєне , раніше знайдене число кореня , і до нього з правого боку приписують випробувану цифру ; вийшло після цієї приписки число множать на випробувану цифру. Якщо після множення вийде число, більше залишку, то випробувана цифра не годиться і треба випробувати наступну меншу цифру.
5 . Наступні цифри кореня знаходять за допомогою того ж прийому .
6 . Якщо після знесення грані число десятків числа, що вийшло виявиться менше дільника , тобто менше подвоєної знайденої частини кореня , то в корені ставлять 0 , зносять наступну грань і продовжують дію далі .
