На тему "Розвиток вчення про квадратне рівняння"
Зміст
Назва проекту
Розвиток вчення про квадратне рівняння
Автори проекту
група учнів
Тема дослідження
квадратне рівняння
Мета дослідження
опрацювати історію розвитку квадратного рівняння
Результати дослідження
Як відомо з історії математики, значна частина задач математичного характеру, розв’язуваних єгипетськими, шумерськими, вавилонськими писарями-обчислювачами (XX—VI ст. до н. е.), мала розрахунковий характер. Проте вже тоді час від часу виникали задачі, в яких шукане значення величини задавалося деякими непрямими умовами, що вимагають, з нашої сучасної точки зору, складання рівняння або системи рівнянь. Спочатку для розв’язання таких задач застосовувалися арифметичні методи. Надалі почали формуватися початки уявлень алгебри. Спочатку алгебру розуміли як науку про рівняння, згодом же цей погляд трохи змінився. Рівняння зустрічаються при вивченні геометрії, тригонометрії, фізики, хімії, астрономії й інших наук. Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або декілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих за допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчається загальні властивості дій над величинами. Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему. Дійсно, рівняння не тільки мають важливе теоретичне значення, але і служать суто практичним цілям. Переважна кількість задач про просторові форми і кількісні співвідношення реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Опановуючи способами їх вирішення, ми знаходимо відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.). Різні рівняння як квадратні, так і рівняння вищих ступенів вирішувалися нашими далекими предками. Ці рівняння вирішували в самих різних і віддалених один від одного країнах. Потреба в рівняннях була велика. Рівняння застосовувалися в будівництві, у військових справах, і в побутових ситуаціях. Деякі алгебраїчні прийоми розв’язування лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Стародавньому Вавилоні. Необхідність вирішувати рівняння не тільки першого, але і другого ступеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані з перебуванням площ земельних ділянок і з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Як було сказано раніше, квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилоняни. Застосовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються як неповні, так і повні квадратні рівняння. Правило розв’язування цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, співпадає по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти містять тільки завдання з розв’язаннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені. Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи розв’язання квадратного рівняння. В стародавній Греції квадратні рівняння розв'язувалися за допомогою геометричних побудов. Методи, які не пов'язувалися з геометрією, вперше наводить Діофант Александрійський у III ст. У своїх книгах «Арифметика» він наводить приклади розв'язування неповних квадратних рівнянь. Його книги з описом способів розв'язання повних квадратних рівнянь до нашого часу не збереглися. Деякі способи розв’язання рівнянь як квадратних, так і рівнянь вищих ступенів були виведені арабами. Так, відомий арабський математик Ал-Хорезмі у своїй книзі «Ал - Джабар» описав багато способів розв’язання різних рівнянь. Їх особливість була в тому, що Ал-Хорезмі застосовував складні радикали для знаходження коренів (розв’язків) рівнянь. Ал-Хорезмі описав алгоритм для знаходження коренів всіх шести підвидів квадратного рівняння. Вміння розв’язувати такі рівняння було потрібне в питаннях про розподіл спадщини. Квадратні рівняння розв’язували і в Індії. Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті «Аріабхаттіам», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттою. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII століття), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиної канонічної форми: aх ² + bx = c, де a> 0. У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і від’ємними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим. У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у розв’язанні складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений чоловік затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і розв’язуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто формулювалися в віршованій формі. Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь було сформоване німецьким математиком М. Штифелем (1487 — 1567). Виводом формули загального розв'язку квадратних рівнянь займався Франсуа Вієт. Він же й вивів формули залежності коренів рівняння від коефіцієнтів у 1591 році. Після праць нідерландського математика А. Жирара (1595 — 1632), а також Декарта і Ньютона, спосіб розв'язування квадратних рівнянь набув сучасного вигляду.
Франсуа Вієт
Франсуа Вієт – французький математик, поклавший початок алгебрі як науці про перетворення виразів, про розв’язування рівнянь у загальному вигляді, утворювач буквенного обчислення.
Вієт став позначати буквами не тільки невідомі, але й дані великості. Тим самим йому вдалося впровадити в науку велике припущенняо можливості виконання алгебраїчних перетворень над символами, тобто ввести поняття математичної формули. Цим він вніс рішучий вклад в створення буквенної алгебри, чим закінчив розвиток математики епохи Відродження і підготував грунт для з’явлення результатів Ферма, Декарта, Н’ютона.
Франсуа Вієт народився в 1540 році на півдні Франції у невеликому містечку Фантене-ле-Конт провінції Пуату, що знаходиться у 60 км від Ла-Рошелі, що була на той час оплотом французьких протестантів-гугенотів. (Гугеноти- наслідувачі кальвінізму, однієї з основних течій Реформації Церкви.) Більшу частину життя він прожив поряд із основними керівниками цього руху, хоча сам залишався католиком. Мабуть, релігіозні незгоди вченого не турбували.
Батько вченого був прокурором. За традицією, син вибрав профессію батька і став юристом, закінчивши університет у Пуату. У 1560 році двадцятирічний адвокат почав свою кар’єру у рідному місті. Як адвокат Вієт користувався у населення авторитетом та повагою. Але через три роки перейшов на службу у відому гугенотську сім’ю де Партене. Він став секретарем власника будинку і вчителем його дочки дванадцятирічної Катерини. Саме навчання пробудило в молодого юриста інтерес да математики.
Коли учениця виросла та вийшла заміж, Вієт не розлучився з її родиною і переїхав з нею до Парижу, де йому було легше дізнатися про досягнення ведучих математиків Європи. З деякими вченими Вієт познайомився особисто. Він спілкувався з відомим профессором Сорбонни Рамусом, з найбільшим математиком Італії Рафаелем Бомпеллі вів дружнє листування.
У 1671 році Вієт перейшов на державну службу, ставши радником парламента у Бретані. Знайомство з Генріхом Наварським, майбутнім королем Франції Генріхом IV, допомогло Вієту зайняти видну придворну посаду – таємного радника – спочатку при королі Генріху ІІІ, а потім і при Генріху IV.
Він прославився тим під час франко – іспанської війни. Іспанські інквізитори вигадали дуже важкий шифр, який складався приблизно з 600 знаків і весь час змінювався і доповнювався. Завдяки цьому шифру войовнича та сильна на той час Іспанія могла вільно листуватися з супротивниками французького короля навіть у самій Франції, і це листування залишалася нерозгаданою. Після марних спроб знайти ключ до шифру король звернувся до Вієта. Розповідають, що Вієт, протягом двох тижнів поряду дні і ночі провів за роботою, все ж таки знайшовши ключ до шифра. Після цього несподівано для іспанців Франція стала вигравати один бій за іншим. Пізніше іспанцям стало відомо, що шифр для французів уже не таємниця і що винуватець його розшифровки – Вієт. Будучи впевненими, в неможливості розгадати спосіб тайнопису людьми, вони звинуватили Францію перед папою римським та інквізицією в проказах диявола, а Вієт був звинувачений у союзі з дияволом та присуджений до спалення на полум’ї. На щастя для науки він не був виданий інквізиції.
Знаходячись на державній службі, Вієт залишався вченим. До цього часу належать свідоцтва сучасників Вієта про його величезну працездатність. Будучи чимось захопленим, вчений міг працювати по три доби без сну.
У 1584 році через наполягання Гіза Вієта звільнили з посади та послали до Парижу. Саме на цей період прийшлася вершина його діяльності. Отримавши несподіваний спокій та відпочинок, вчений поставив собі ціль скласти всеосяжну математику, яка дозволить розв’язувати будь-які задачі. У нього склалося переконання у тому, “що має існувати загальна, невідома ще наука, яка охоплює і розумні роздуми найновіших алгебраїстів, і глибокі геометричні розвідки «древніх».
Головною пристрастю Вієта була математика. Він глибоко вивчив твори класиків Архімеда і Діофанта, найближчих попередників Кардано, Бомпеллі, Стевіна та інших. Вієта вони не лише захоплювали, в них він бачив велику ваду, яка полягала у важкості розуміння через словесну символіку. Майже всі дії і знаки записувалися словами, не було навіть натяку на ті зручні, майже автоматичні правила, якими ми зараз користуємось. Неможна було записувати і, отже, вивчати в загальному вигляді алгебраїчні рівняння або якісь алгебраїчні вирази. Кожний вид рівняння з числовими коефіцієнтами розв’язувався за особливим правилом. Так, наприклад, у Кардано розглядалося 66 видів алгебраїчних рівнянь. Тому необхідно було довести, що існують такі загальні дії над усіма числами, які від самих чисел не залежать. Вієт та його послідовники встановили, що не має значення, чи буде розглядуване число кількістю предметів або довжиною відрізка. Головне, що над цими числами можна виконувати алгебраїчні дії і в результаті знову отримати числа такого самого роду. Отже, їх можна позначати якимись абстрактними знаками. Вієт це й зробив. Він не лише ввів своє буквене обчислення, але й зробив принципово нове відкриття, поставивши перед собою ціль, вивчати не лише числа, а й дії над ними. Правда, в самого Вієта алгебраїчні символи були ще мало схожі на наші. Зі знаків дій він використовував “+” і “-”, знак радикалу і горизонтальну риску для ділення. Добуток позначав словом “in”. Вієт першим став використовувати дужки, які, правда, в нього мали вигляд не дужок, а риски над многочленом. Але багато знаків, які були введені до нього, він не використовував. Так, квадрат, куб і т. д. Позначав словами або першими буквами слів. Основу свого підходу Вієт називав видовою логістикою. Наслідуючи приклад стародавніх, він чітко розмежував числа, великості та відношення, зібравши їх у деяку систему «видів». У цю систему входили, наприклад, змінні, їх корені, квадрати, куби і т.д. Для цих видів Вієт дав спеціальну символіку, позначивши їх прописними буквами латинського алфавіту. Для невідомих великостей застосовувалися голосні букви, для змінних – приголосні. Вієт показав, що, оперуючи з символами, можна отримати результат, який пристосований до будь – яких великостей, тобто розв’язати задачу в загальному вигляді. Це поклало початок корінній зміні у розвитку алгебри: стало можливим буквене обчислення. Не випадково, що за це Вієта називають «батьком» алгебри, основоположником буквеної символіки.
Особливо пишався Вієт усім відомою тепер теоремою про вираження коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти, яку він отримав самостійно, хоча тепер стало відомо, залежність між коефіцієнтами і коренями рівняння (навіть більш загального вигляду, ніж квадратне) була відома ще Кардано, а в такому вигляді, в якому ми використовуємо її для квадратного рівняння, - давнім вавилонянам. Теорема була оголошена у 1591 році. Тепер вона носить ім’я Вієта, а сам автор формулював її так: «Якщо B+D, помножене на А, мінус А в квадраті дорівнює BD, то А дорівнює В і дорівнює D». Теорема Вієта стала зараз найвідомішим твердженням шкільної алгебри. Теорема Вієта варта уваги, тим паче що її можна узагальнити для многочленів будь – якого степеня.
Великих успіхів досяг вчений і в геометрії. Стосовно до неї він зміг розробити цікаві методи. У трактаті «Доповнення до геометрії» він намагався створити за прикладом давніх якусь геометричну алгебру, використовуючи геометричні методи для розв’язування рівнянь третього та четвертого степеня. Будь – яке рівняння третього або четвертого степеня, стверджував Вієт, можна розв’язати геометричним методом трисекції кута або побудовою двох середніх пропорційних.
Математиків протягом століть цікавило питання розв’язування трикутників, так як він диктувався потребами астрономії, архітектури, геодезії. У Вієта методи, які використовувалися раніше, набули більш завершеного вигляду. Так, він першим явно сформулював у словесній формі теорему косинусів, хоча положення, еквівалентні їй, епізодично використовувались з першого століття нашої ери. Відомий раніше своєю важкістю випадок розв’язування трикутника за двома даними сторонами і одному з протилежних їм кутів отримав у Вієта вичерпний розгляд. Було ясно сказано, що рішення не завжди можливе. Якщо ж рішення є, то може бути одне або два.
Глибоке знання алгебри дало Вієту великі переваги. При цьому інтерес до алгебри спочатку був викликаний додатками до тригонометрії та астрономії. Не лише кожне нове використання алгебри давало імпульс новим дослідам по тригонометрії, але й отримані тригонометричні результати стали джерелом важливих успіхів алгебри. Вієту належить висновок виразів для синусів (або хорд) и косинусів кратних дуг.
У 1589 році, після вбивства Генріха Гіза за наказом короля, Вієт повернувся до Парижу. Але у тому ж році Генріх III був вбитий монахом – прихильником Гіза. Формально французька корона перейшла до Генріха Наварського – голови гугенотів. Але лише після того, як у 1593 році цей керівник прийняв католицьку віру, в Парижі його визнали королем Генріхом IV. Так був покладений кінець релігійній війні, яка довгий час впливала на життя кожного француза, навіть якщо він зовсім не цікавився ні політикою, ні релігією.
Подробиці життя Вієта у той час невідомі. Відомо лише, що він перейшов на службу до Генріха IV, знаходився при дворі, був відповідальним урядовцем і користувався великою повагою як математик.
За легендою, посол Нідерландів сказав на прийомі у короля Франції Генріха IV, що їхній математик Адріан ван – Роумен задав математикам світу задачу. Але у Франції, мабуть, немає математиків, так як серед тих, кому особисто адресувався виклик, немає жодного француза. Генріх IV відповів, що у Франції є математик, і запросив Вієта. Він у приймальні короля, у присутності короля, міністрів та гостей, знайшов один корінь запропонованого рівняння 45-го степеня. Король був дуже задоволений. На наступний день Вієт знайшов ще 22 корені рівняння. Цим він і обмежився. Так як останні 22 корені – від’ємні, а Вієт не визнавав ні від’ємних, ні уявних коренів.
В останні роки життя Вієт пішов з державної служби, але продовжував цікавитися наукою. Відомо, наприклад, що він вступив у полеміку з приводу введення нового григоріанського календаря. І навіть хотів створити свій календар.
У мемуарах деяких придворних Франції є згадки, що Вієт був одружений, що в нього була донька, єдина спадкоємниця імення, за яким Вієт звався синьйор де ла Біготьє. У придворних новинах маркіз Летуаль писав: «...14 лютого 1603 р. Пан Вієт, рекетмейстр, людина великого розуму і розмірковування і один з найбільш вчених математиків століття помер... в Парижі, маючи, за загальною думкою, 20 екю. Йому було більше шістдесяти років».
Праці Вієта: у 1591 році – «Isagoge in artem analiticam» («Введення в аналітичне мистецтво»), Другий твір Вієта «Recensio canonica effectionum geometricarum» («Доповнення до геометрії») став основою для тієї галузі математики, яку зараз називають аналітичною геометрією. Більш чи менш повна збірка праць Вієта була видана у 1646 році в Лейдені нідерландським математиком ван Скоотеном під назвою «Математичні твори Вієта».
Математична спадщина Вієта — це своєрідний підсумок математики епохи Відродження. Паралелізм між властивостями рівнянь і геометричними побудовами відіграли свою позитивну роль у формуванні ідей аналітичної геометрії XVII ст. Отже, те, що у Вієта й інших математиків XVI ст. було геометричним рудиментом, стало вихідним пунктом розвитку аналітичної геометрії в наступному столітті.
