Звіт групи

Назва проекту

"Обернись"

Автори проекту

Учні 11 класу група Історики

Тема дослідження

Історія виникнення поняття тіл обертання.

Проблема дослідження

Проблемою дослідження є те що ми не знаємо де і коли виникли поняття конуса, циліндра, сфери і узагальнення їх в обширне поняття тіла обертання,

тому були поставлені наступні завдання:

• дослідити ким було описано поняття конуса, циліндра, сфери;
• визначити хто з вчених винайшов формули для обчислення прощ та об'ємів тіл обертання.
• знайти де несамперед виникло поняття про тіло обертання
• знайти цікаві історичні задачі про тіла обертання

Гіпотеза дослідження

Добре відомо, що багато років тому математика не була такою як зараз. Доречно буде згадати про еволюцію математичних ідей. А саме історизм у викладенні математики передбачає розкриття еволюції фундаментальних ідей. Ознайомлення з історією математики дає змогу дізнатися про історію розвитку певного поняття, з’ясувати місце цього поняття в системі понять. Тим самим сприяє кращому розумінню і засвоєнню математичної термінології.

Мета дослідження

Дослідити історію виникнення понять про тіла обретання. Та історію виникнення формул для обчислення об'ємів та площ поверхонь заданих тіл.

Хід і результати дослідження

Початкові відомості про властивості геометричних тіл люди знайшли, спостерігаючи навколишній світ і в результаті практичної діяльності. 

До Фалеса в світі геометрією майже ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви.

Ялинкова шишка з грецької означає слово "конос" (рис. 1). Тому тіла такої форми отримали назву конус.

Конус - тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів'яч з грецької має назву "сфера".

RTENOTITLE              RTENOTITLE         RTENOTITLE    

Тому фігура, яка обмежує кругле тіло обертання і називається сферою 

Куля - тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра (рис. 4).

Валик чи каток був дуже схожий на сучасну фігуру циліндр. Тому з грецької мови "каток", "валик" означають тіло обертання - циліндр.
Циліндр - тривимірна фігура, що утворена прямокутником, який обертається навколо однієї зі своїх сторін.

Геометрія в ранній період свого розвитку досягла особливо високого рівня в Єгипті. Ученим того часу вдалося дістати ряд визначних результатів. Насамперед обчислення об'єму правильної чотирикутної зрізаної піраміди (задача №14 Московського папірусу). Хоча не вдалося точно  перекласти текст і розвязання задачі №10 з Московського папірусу, в якій обчислюється об'єм кошика, що має форму половини кулі з отвором 4,5. Одні вважають, що в задачі йдеться про точне обчислення поверхні півкулі, другі - бічної поверхні циліндра, треті - наближене обчислення об'єму круглоподібного зерносховища. В усіх випадках, це було визначне досягнення того часу.

У першому тисячолітті до нашої ери геометричні відомості від єгиптян перейшли до греків. За період з VII по III століття до нашої ери грецькі геометри не тільки збагатили геометрію численними новими теоремами, але зробили також серйозні кроки до суворого її обгрунтування. Багатовікова робота грецьких вчених за цей період була підсумована Евклідом в його знаменитій праці «Початки».

Евклід добре знав філософію Платона (саме тому він закінчив «Початки». З ім'ям Евкліда пов'язують становлення олександрійської математики (геометричної алгебри) як науки. В XI дається таке визначення: якщо прямокутний трикутник обертається близько одного зі своїх катетів зліва і повернеться в той же самий стан, з якого він почав рухатися, то описана фігура буде конусом. Нерухомий катет, навколо якого обертається трикутник, називається віссю конуса, а коло, описуване обертовим катетом, називається підставою конуса. Евклід розглядає тільки прямі конуси, тобто такі, у яких вісь перпендикулярна до основи, лише Аполлоній розрізняє прямі і косі конуси, у яких вісь утворює з основою кут, відмінний від прямого.

У XII книзі "Початки" Евкліда містяться наступні теореми про конус: 

• Обсяг конуса дорівнює однієї третини обсягу циліндра з рівною основою і рівною висотою; доказ цієї теореми належить Евдоксу Книдской.
• Відношення обсягів двох конусів з рівними основ дорівнює відношенню відповідних висот.
• Якщо два конуса рівновеликі, то площі їх підстав обернено пропорційні відповідним висотам і навпаки.

Аполлоній Пергський давньогрецький математик і астроном, учень Евкліда дав повний перелік його праць «Кінцеві перетини» у восьми підручниках. В залежності від взаємного розташування конуса і січної площини отримують три типи фігур: параболу, еліпс, гіперболу. У Евкліда немає поняття конічної поверхні, воно було введено Аполлонієм в його "Конічних перетинах", при цьому він мав на увазі обидві площині конуса. Ось що пише Аполлоній Пергський: "Якщо від будь-якої точки окружності кола, який не знаходиться в одній площині з деякою точкою, проводити прямі, що з'єднують цю точку з колом, і при нерухомості точки переміщати пряму по колу, повертаючи її туди, звідки почалося рух, то поверхню, описану прямий і складену з 2 поверхонь, що лежать в вершині один проти одного, з яких кожна нескінченно збільшується, якщо нескінченно продовжувати описує пряму, я називаю конічною поверхнею, нерухому ж точку - її вершиною, а віссю - пряму, проведену через цю точку і центр кола". 

RTENOTITLE                    RTENOTITLE

Суворі докази теорем, що служать для виведення формули обсягу конуса і викладених в п'яти реченнях "Початку" Евкліда, дав Евдокс Кнідський. У першому з них методом вичерпання доводиться, що об`єм конуса дорівнює 1/3 об'єму циліндра, що має таку основу і подібну ж висоту. Нарешті, в останніх 2 пропозиціях встановлюється, що відношення об`ємів 2 конусів, площі основ яких рівні, так само дорівнюють відношенню висот. За визначенням Евкліда, конус утворюється від обертання прямокутного трикутника, навколо одного з катетів.<span style="font-family: sans-serif; line-height: 19.05px; text-align: start; background-color: white;"</span>

RTENOTITLE                                  RTENOTITLE

Архімед давньогрецький вчений, математик і механік, засновник теоретичної механіки і гідростатики. Розробив методи знаходження площ, поверхонь і об'ємів різних фігур і тіл. До нас дійшло тринадцять трактатів Архімеда. У самому знаменитому з них - «Про кулі і циліндри» (у двох книгах) Архімед встановлює, що площа поверхні кулі в 4 рази більше площі найбільшого його перетину; формулює співвідношення обсягів кулі і описаного біля нього циліндра як 2:3 - відкриття, яким дорожив, тому в заповіті просив поставити на своїй могилі пам'ятник з зображенням циліндра з вписаної в нього кулею. У цьому ж трактаті сформульована аксіома Архімеда (аксіомою Евдокса), що грає важливу роль в сучасній математиці.

Висновки

Провівши це дослідження, ми довели гіпотезу: ознайомлення з історією математики сприяє кращому розумінню і засвоєнню математичної термінології, та й загалом навчального матеріалу з математики.

Також ми визначили: