Історія золотого перерізу

Назва проекту

Золотий переріз.

Автори проекту

Учні 6 класу Сумської загальноосвітньої школи № 22

Тема дослідження

Золотий переріз.

Проблема дослідження

Історія розвитку знань про пропорцію, золотий переріз.

Гіпотеза дослідження

Золотий перетин - це перетин відрізка на дві частини так, що довжина більшої частини відноситься до довжині меншої частини так само, як довжина всього відрізка до довжині більшої частини.

Мета дослідження

Паказати як історично як розвивалися знання про пропорцію, золотий переріз.

Результати дослідження

Історія золотого перетину Прийнято вважати, що поняття про золотом поділі ввів Піфагор, давньогрецький філософ і математик (VI ст. до н.е.). Є припущення, що Піфагор своє знання золотого поділу запозичив у єгиптян і вавилонян. І дійсно, пропорції піраміди Хеопса, храмів, барельєфів, предметів побуту і прикрас з гробниці Тутанхамона свідчать, що єгипетські майстра користувалися співвідношенням золотого поділу при їх створенні. Французький архітектор Ле Корбюзье знайшов, що в рельєфі з храму фараона Мережі I в Абідосі і в рельєфі, що зображає фараона Рамзеса, пропорції фігур відповідають величин золотого поділу. Зодчий Хесира, зображений на рельєфі дерев'яної дошки з гробниці його імені, тримає в руках вимірювальні інструменти, в яких зафіксовані пропорції золотого деления.Греки були майстерними геометрами. Навіть арифметиці навчали своїх дітей за допомогою геометричних фігур. Квадрат Піфагора і діагональ цього квадрата були підставою для побудови динамічних прямоугольников.Платон (427...347 рр. до н.е.також знав про золотом поділі. Його діалог "Тімей" присвячений математичним та естетичних поглядів школи Піфагора і, зокрема, питань золотого деления.В фасаді давньогрецького храму Парфенона присутні золоті пропорції. При розкопках виявлені циркулі, якими користувалися архітектори і скульптори античного світу. У Помпейском циркуле (музей в Неаполі) також закладені пропорції золотого деления.В що дійшла до нас античній літературі золоте поділ вперше згадується в "Засадах" Евкліда. В 2-й книзі "Почав" дається геометричне побудова золотого поділу Після Евклида дослідженням золотого поділу займалися Гипсикл (II ст. до н.е.), Папп (III ст. н.е.) та ін. У середньовічній Європі з золотим діленням познайомилися з арабським перекладів "Почав" Евкліда. Перекладач Дж. Кампано з Наварри (III.) зробив до перекладу коментарі. Секрети золотого поділу ревно застерігались, зберігалися в суворій таємниці. Вони були відомі тільки присвяченим. В епоху Відродження посилюється інтерес до золотого поділу серед вчених і художників у зв'язку з його застосуванням як в геометрії, так і в мистецтві, особливо в архітектурі Леонардо да Вінчі, художник і вчений, бачив, що в італійських художників емпіричний досвід великий, а знань мало. Він задумав, і почав писати книгу по геометрії, але в цей час з'явилася книга ченця Луки Пачолі, і Леонардо залишив свою затію. На думку сучасників і істориків науки, Лука Пачолі був справжнім світилом, найбільшим математиком Італії в період між Фібоначчі і Галілеєм. Лука Пачолі був учнем художника П'єро делла Франческа, який написав дві книги, одна з яких називалася "Про перспективу в живопису". Його вважають творцем нарисної геометрії. Лука Пачолі чудово розумів значення для науки мистецтва. У 1496 р на запрошення герцога Моро він приїжджає до Мілана, де читає лекції з математики. У Мілані при дворі Моро в той час працював і Леонардо да Вінчі. У 1509 р. у Венеції була видана книга Луки Пачолі "Божественна пропорція" з блискуче виконаними ілюстраціями, через що вважають, що їх зробив Леонардо да Вінчі. Книга була захопленим гімном золотої пропорції. Серед багатьох переваг золотої пропорції чернець Лука Пачолі не забув назвати і її "божественну сутність" як вираження божественного триєдності бог син, бог отець і бог дух святий (малося на увазі, що малий відрізок є уособлення бога сина, більший відрізок - бога отця, а весь відрізок - бога, духа святого). Леонардо да Вінчі також багато уваги приділяв вивчення золотого поділу. Він виробляв перетину стереометрического тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, і кожен раз отримував прямокутники з відносинами сторін у золотому поділі. Тому він дав цього розподілу назва золотий перетин. Так воно і тримається досі як найпопулярніший. В той же час на півночі Європи, в Німеччині, над тими ж проблемами трудився Альбрехт Дюрер. Він робить начерки введення до першого варіанта трактату про пропорціях. Дюрер пише. "Необхідно, щоб той, хто щось вміє, навчив цього інших, які цього потребують. Це я і вирішив зробити". Судячи по одному з листів Дюрера, він зустрічався з Лукою Пачолі під час перебування в Італії. Альбрехт Дюрер докладно розробляє теорію пропорцій людського тіла. Важливе місце в своїй системі співвідношень Дюрер відводив золотого перетину. Зріст людини ділиться у золотих пропорціях лінія поясу, а також лінією, проведеної через кінчики середніх пальців опущених рук, нижня частина обличчя - ротом і т.д. Відомий пропорційний циркуль Дюрера. Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвав золотий перетин одним з скарбів геометрії. Він перший звертає увагу на значення золотої пропорції для ботаніки (зростання рослин і їх будову). Кеплер називав золоту пропорцію продовжує саму себе "вона Влаштована так, - писав він, - що два молодших члена цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останніх члена, якщо їх скласти, дають наступний член, причому та ж пропорція зберігається до нескінченності". Побудова ряду відрізків золотої пропорції можна проводити як у бік збільшення (зростаючий ряд), так і у бік зменшення (спадний ряд). Якщо на прямий довільної довжини, відкласти відрізок m, поруч відкладаємо відрізок M. У подальші століття правило золотої пропорції перетворилося в академічний канон і, коли згодом у мистецтві почалася боротьба з академічної рутиною, в запалі боротьби "разом з водою виплеснули і дитини". Знову "відкрито" золотий перетин було в середині XIX в. В 1855 р. німецький дослідник золотого перетину професор Цейзинг опублікував свій труд "Естетичні дослідження". З Цейзингом сталось саме те, що і повинно було неминуче статися з дослідником, який розглядає явище як таке, без зв'язку з іншими явищами. Він абсолютизировал пропорцію золотого перетину, оголосивши її універсальною для всіх явищ природи і мистецтва. У Цейзинга були численні послідовники, але були й супротивники, які оголосили його вчення про пропорції "математичної естетикою". Справедливість своєї теорії Цейзинг перевіряв на грецьких статуях. Найбільш докладно він розробив пропорції Аполлона Бельведерського. Піддалися дослідження грецькі вази, архітектурні споруди різних епох, рослини, тварини, пташині яйця, музичні тони, віршовані розміри. Цейзинг дав визначення золотого перетину, показав, як воно виражається у відрізках прямий і в цифрах. Коли цифри, які виражають довжини відрізків, були отримані, Цейзинг побачив, що вони становлять ряд Фібоначчі, який можна продовжувати до нескінченності в одну і в інший бік. Наступна його книга мала назву "Золоте поділ як основний морфологічний закон у природі й мистецтві". У 1876 р. в Росії була видана невелика книжка, майже брошура, з викладенням цього праці Цейзинга. Автор сховався під ініціалами Ю.Ф.В. У цьому виданні не згадано жоден твір живопису. В кінці XIX - початку XX ст. з’явилося чимало чисто формалістичних теорії про застосування золотого перетину у творах мистецтва і архітектури. З розвитком дизайну та технічної естетики дію закону золотого перетину поширилося на конструювання машин, меблів тощо. в початок Ряд Фібоначчі З історією золотого перетину непрямим чином пов'язано ім'я італійського математика ченця Леонардо з Пізи, більш відомого під ім'ям Фібоначчі (син Боначчі). Він багато подорожував по Сходу, познайомив Європи з індійськими (арабськими) цифрами. У 1202 р вийшов у світ його математичний працю "Книга про абаки" (рахункової дошці), в якому були зібрані всі відомі на той час завдання. Одне із завдань свідчила "Скільки пар кроликів в один рік від однієї пари народиться". Розмірковуючи на цю тему, Фібоначчі вибудував такий ряд цифр: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, і т.д.

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. відомий як ряд Фібоначчі. Особливість послідовності чисел полягає в тому, що кожен її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх 2 + 3= 5; 3 + 5= 8; 5 + 8= 13, 8 + 13= 21; 13 + 21= 34 і т.д., а ставлення суміжних чисел ряду наближається до відношенню золотого поділу. Так, 21 : 34= 0,617, а 34 : 55= 0,618. Це відношення позначається символом Ф. Тільки це відношення - 0,618 : 0,382 - дає безперервне поділ відрізка прямий в золотої пропорції, збільшення або зменшення до безкінечності, коли менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього. Фібоначчі так само займався рішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якого найменшої кількості гир можна зважити товар? Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: 1, 2, 4, 8, 16... в початок Узагальнений золотий перетин Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого поділу в рослинний і тваринний світ, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичного виразу закону золотого поділу. Вчені продовжували активно розвивати теорію чисел Фібоначчі і золотого перетину. Ю. Матиясевич з використанням чисел Фібоначчі вирішує 10-ю проблему Гільберта. Виникають витончені методи вирішення низки кібернетичних завдань (теорії пошуку, ігор, програмування) з використанням чисел Фібоначчі і золотого перетину. У США створюється навіть Математична Фібоначчі-асоціація, яка з 1963 року випускає спеціальний журнал. Одним з досягнень у цій галузі є відкриття узагальнених чисел Фібоначчі і узагальнених золотих перерізів. Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і відкритий ним же "двійковий" ряд гир 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд зовсім різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на одного: у першому випадку кожне число є сума попереднього числа з самим собою 2= 1 + 1; 4= 2 + 2..., у другому - це сума двох попередніх чисел 2= 1 + 1, 3= 2 + 1, 5= 3 + 2.... Чи не можна відшукати загальну математичну формулу, з якої виходять і "двійковий" ряд, і ряд Фібоначчі? А може бути, ця формула дасть нам нові числові множини, що володіють какими-то новими унікальними властивостями? Дійсно, задамося числовим параметром S, який може приймати будь-які значення: 0, 1, 2, 3, 4, 5... Розглянемо числовий ряд, S + 1 перших членів якого - одиниці, а кожен з наступних дорівнює сумі двох членів попереднього і віддаленого від попереднього на S кроків. Якщо n-й член цього ряду ми позначатимемо ?S (n), то отримаємо загальну формулу ?S (n)= ?S (n - 1) + ?S (n - S - 1). Очевидно, що при S= 0 з цієї формули ми отримаємо "двійковий" ряд, при S= 1 - ряд Фібоначчі, при S= 2, 3, 4. нові ряди чисел, які отримали назву S-чисел Фібоначчі. У загальному вигляді золота S-пропорція є позитивний корінь рівняння золотого S-перетину xS+1 - xS - 1= 0. Неважко показати, що при S= 0 виходить розподілу відрізка навпіл, а при S = 1 -знайоме класичне золотий перетин. Відносини сусідніх S-чисел Фібоначчі з абсолютною математичною точністю збігаються у межі з золотими S-пропорціями! Математики в таких випадках говорять, що золоті S-перетину є числовими инвариантами S-чисел Фібоначчі. Факти, які підтверджують існування золотих S-перерізів в природі, призводить білоруський вчений Е.М. Сороко в книзі "Структурна гармонія систем" (Мінськ, "Наука і техніка", 1984). Виявляється, наприклад, що добре вивчені подвійні сплави володіють особливими, яскраво вираженими функціональними властивостями (стійкі у термічному відношенні, міцні, зносостійкі, стійкі до окислення тощо) тільки в тому випадку, якщо питомі ваги вихідних компонентів пов'язані один з одним одній із золотих S-пропорцій. Це дозволило автору висунути гіпотезу про те, що золоті S-перетину є числові інваріанти самоорганізуються систем. Будучи підтвердженої експериментально, ця гіпотеза може мати фундаментальне значення для розвитку синергетики - нової галузі науки, що вивчає процеси в самоорганізуються системах.С допомогою кодів золотий S-пропорції можна висловити будь-який дійсне число у вигляді суми ступенів золотих S-пропорцій з цілими коэффициентами.Принципиальное відміну такого способу кодування чисел полягає в тому, що заснування нових кодів, що представляють собою золоті S-пропорції, при S> 0 виявляються ірраціональними числами. Таким чином, нові системи числення з ірраціональними підставами як би ставлять "з голови на ноги" історично сформовану ієрархію відносин між числами раціональними і ірраціональними. Справа в тому, що спочатку були "відкриті" натуральні числа; потім їх відносини - раціональні числа. І лише пізніше - після відкриття піфагорійцями непорівнянних відрізків - на світ з'явилися ірраціональні числа. Скажімо, у десятковій, пятеричной, двійковій та інших класичних позиційних системах числення своєрідною першооснови були відібрані натуральні числа - 10, 5, 2, - з яких вже за певними правилами конструировались всі інші натуральні, а також раціональні та ірраціональні числа.Своего роду альтернативою існуючим способів числення виступає нова, ірраціональна система, як першооснови, початку відліку якої обрано ірраціональне число (яка, нагадаємо, коренем рівняння золотого перетину); через нього вже висловлюються інші дійсні числа.В такій системі числення будь-яке натуральне число завжди представимо у вигляді кінцевою, - а не нескінченної, як думали раніше! - суми ступенів будь-який із золотих S-пропорцій. Це одна з причин, чому "ірраціональна" арифметика, володіючи дивовижною математичної простотою і витонченістю, як би увібрала в себе кращі якості класичної двійковій і "Фибоначчиевой" арифметик.

Висновки

В результаті даної роботи учні ознойомилися з історією розвитку знань про золотий переріз.

Корисні ресурси

Тренінг для учителів математики (9 квітня - 25 травня 2012 рік)