Учнівська wiki-стаття "Геометричний зміст похідної"
Зміст
Назва проекту
Застосування похідної
Автори проекту
Група учнів 11 класу
Тема дослідження
Геометричний зміст похідної
Проблема дослідження
Де і як застосовується геометричний зміст похідної?
Гіпотеза дослідження
Рівняння дотичної – важливий аспект змісту похідної у теорії та практиці
Мета дослідження
Метою дослідження є з’ясування геометричного змісту похідної та його використання
Результати дослідження
• І. Ньютон та Г. В. Лейбніц зробили значний внесок у розвиток математичного аналізу та похідної, як його важливого елементу;
• рівняння дотичної до кривої у точці M( ) має вигляд:
у=f(x0)+f'(x0)(x-x0)
• значення похідної функції у = f(x) в точці х0 дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo:
f'(x0) =k = tg α
• значення похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута, утвореного дотичною до кривої в цій точці з додатним напрямом осі Ох.
• приклад технічної задачі з використанням геометричного змісту похідної:
Поверхня, яка утворюється внаслідок обертання параболи у=ах2 навколо осі Оу, називається параболоїдом обертання. Уявімо собі, що внутрішня поверхня параболоїда дзеркальна поверхня, і це параболічне дзеркало освітлюється пучком променів світла, паралельних до осі Оу. Промінь МА падає на поверхню дзеркала і, відбившись за законами оптики, перетинає вісь Оу в F. ےМАТ=ےFАР. РТ – дотична до параболи в точці А. Оскільки МА ‖ Оу, то ےМАТ=ےFРА, тобто FРА рівнобедрений і FА=FР. Знайдемо рівняння дотичної РТ за допомогою похідної. у=f(х0)+f' (х0)(х-х0), f(х)=ах2, f’(х)=2ах, у=ах2+2ах0(х-х0)=2ах0х-ах0. Нехай а=1, тоді РТ має рівняння у=2х0х-х02.Знайдемо ординату точки Р. З умови уР=-х0=-у0. FР=у+у0, де у - ордината F. FА=FР, то
(у-у0)2=х02+(у0-у)2.
Розв’язавши рівняння відносно у, знайдемо у=1/4. Тобто для даної параболи для довільного променя МА ми одержали, що його відбитий промінь перетинає вісь Оу в одній точці F. Цю точку називають фокусом параболи. На цій властивості грунтується будова параболічних телескопів. Промені від далеких зірок приходять до нас у вигляді паралельного пучка. Виготовивши телескоп і розмістивши у його фокусі фотопластинку, можна посилити світловий сигнал, що йде від зірок. Цей принцип лежить в основі створення параболічних телеантен - “тарілок”, які дають змогу підсилити телесигнал від супутника.
Висновки
похідна має широкий спектр використання;
геометричний зміст похідної;
використання геометричного змісту у техніці; навчилися користуватися різноманітними джерелами, працювати у групах,
Корисні ресурси
Вікіпедія – Вільна енциклопедія: Похідна.
ito.vspu.net›SAIT/inst_kaf/kafedru/matem_fizuka_…«Геометричний зміст похідної»
yukhym.com›uk/diferentsiyuvannya…zmist-pokhidnoji…«Геометричний зміст похідної. Дотична до графіка функції»
ebooktime.net›book_86_glava_133_8.3.2._Облік_…« Механічний та геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної»
