Назва проекту
Хеопс з нами по-всюди!
Автори проекту
Учні 11 класу група Історики
Тема дослідження
Історія виникнення понять піраміда та конус.
Проблема дослідження
Під час прогулянки містом ми зустрічаємо дуже багато споруд та витворів мистецтва, які схожі на піраміду та конус, але ми не знаємо історії створення. Також проблемою є те, що ми не знаємо за яких умов виникали колись піраміди і конуси.
Гіпотеза дослідження
Добре відомо, що багато років тому математика не була такою як зараз. Доречно буде згадати про еволюцію математичних ідей. А саме історизм у викладенні математики передбачає розкриття еволюції фундаментальних ідей. Ознайомлення з історією математики дає змогу дізнатися про історію розвитку певного поняття, з’ясувати місце цього поняття в системі понять. Тим самим сприяє кращому розумінню і засвоєнню математичної термінології.
Мета дослідження
Дослідити історію виникнення понять про конуси і піраміди. Та історію виникнення формул для обчислення об'ємів та площ поверхонь заданих тіл.
Хід і результати дослідження
1. Знайти де насамперед виникло поняття про піраміду
У Стародавньому Єгипті понад 4000 років тому усипальниці фараонів будувалися у формі пірамід. Піраміди — найдавніші й водночас найвеличніші у світі монументальні споруди, які здіймаються в небо між сріблясто-жовтою пустелею й величним Нілом.
Упродовж кількох тисячоліть стоять ці кам'яні дива на рівнині й мільйони людей приїздять, щоб побачити їх. Вони стоять перед пірамідами в німому зачаруванні. Кому могло спасти на думку нагромадити такі гори каміння, до того ж у таку сиву давнину? Версій щодо виникнення пірамід у наш час дуже багато. Найбільш реальна версія, яку підтвердили сучасні науковці, така: піраміди — це величезні гробниці фараонів.
Нині відкрито близько 90 пірамід. Найвідоміша з них — Велика піраміда Хеопса біля Гізи. На її будівництво витратили 20 років, фараон сам спостерігав за зведенням власної гробниці. Висота піраміди становить 147 м. Вона залишалася найвищою спорудою на Землі, доки в 1887 році не збудували Ейфелеву вежу. Кожна зі сторін Великої піраміди має довжину 230 м, що в 2 рази більше, ніж розміри футбольного поля! Усередині знаходиться поховальна камера розміром з невеликий дім. Кожна кам'яна брила так відшліфована, а всі глиби так точно підігнані одна до одної, що між ними неможливо просунути навіть лезо ножа.
За давніх часів піраміди вважалися першим із Семи Чудес Світу. І хоч нині споруджуються телевізійні вежі куди вищі, ніж найвища і найбільша піраміда, за компактно забудованою площею й масивністю її поки що не перевершила жодна новітня споруда.
З матеріалу, витраченого на піраміду Хеопса, нині можна було б побудувати вздовж усього середземноморського узбережжя Єгипту кам'яну греблю завширшки 1 м і заввишки в 2 м 50 см.
2. Дослідити коли виникли перші згадки про конуси і піраміди
У період перших династій з'являються спеціальні "вдома після життя" - мастаби - похоронні будівлі, що складалися з підземної поховальної камери і кам'яної споруди над поверхнею землі. Сам термін відноситься до арабського часу і пов'язане з тим, що форма цих схожих у розрізі на трапецію гробниць нагадувала арабам великі лавки, що називалися "мастаба".
Мастаби будували для себе і перші фараони. Найдавніші царські мастаби, що відносяться до часів I династії, споруджувалися з адобов-необпаленої цегли з глини та / або річкового мулу. Вони будувалися в Нагада й Абідосі у Верхньому Єгипті, а також у Саккарі, де знаходився головний некрополь Мемфіса, столиці правителів перших династій. У наземній частині цих будівництв знаходилися молитовні і помешкання з похоронним інвентарем, а в підземній-власне похоронні камери.
| Фараон
|
Приблизні дати
|
Розташування
|
| Джосер
|
2630-2612 рр. до н.е.
|
Саккара
|
| Снофру
|
2612-2589 рр. до н.е.
|
2 піраміди в Дахшуре одна в Мейдуме
|
| Хуфу
|
2589-2566 рр. до н.е.
|
Гіза
|
| Джедефра
|
2566-2558 рр. до н.е.
|
Абу Раваш
|
| Хафра
|
2558-2532 рр. до н.е.
|
Гіза
|
| Мікерін (Menkaura)
|
2532-2504 рр. до н.е.
|
Гіза
|
| Сахура
|
2487-2477 рр. до н.е.
|
Абусире
|
| Неферікара Кака
|
2477-2467 рр. до н.е.
|
Абусире
|
Таблиця 1. Датування будівлі пірамід
3. Дослідити з яких пір конуси стали називати конусами, а піраміди - пірамідами.
Початкові відомості про властивості геометричних тіл люди знайшли, спостерігаючи навколишній світ і в результаті практичної діяльності.
До Фалеса в світі геометрією майже ніхто не займався. У геометричних фігур не було назв. Тому люди почали вигадувати їм свої назви.
Ялинкова шишка з грецької означає слово "конос" (рис. 1). Тому тіла такої форми отримали назву конус.
Конус - тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів (рис. 2).
4. Дослідити ким було описано поняття конуса
АПОЛОНІЙ ПЕРСЬКИЙ
Аполлоній Пергський — останній з трьох великих математиків епохи еллінізму. Молодим він приїхав до Александрії і вивчав математику в послідовників Евкліда в Мусейоні. Потім жив і працював у другому центрі грецької культури — місті Перга.
Аполлоній — автор багатьох математичних праць, найвизначнішою з яких є «Коніка» («Конусні»). Із восьми книг цього твору збереглися сім. «Коніка» присвячена конічним перерізам, або кривим другого порядку. Їх вивчали і до Аполлонія. Є свідчення, що учень Евдокса Кнідського — Менехм (бл. 360 до н. е.)— відкрив еліпс, гіперболу і параболу («тріада Менехма»), вивчив їх властивості і застосував до розв'язання задачі подвоєння куба (делоської задачі). Конічні перерізи вивчали Евклід, Архімед та інші вчені. Один з біографів Архімеда навіть звинувачував Аполлонія в плагіаті, хоча аналіз «Коніки» свідчить, що для цього немає підстав. Попередники Аполлонія розглядали конічні перерізи за умови перпендикулярності площини перетину до твірної конуса. Якщо конус прямокутний, утворювалася парабола, гострокутний — еліпс, а якщо тупокутний — вітки гіперболи. Аполлоній розглядає загальний випадок утворення конічних перерізів при перетині довільного кругового двопорожнинного конуса площиною під будь-яким кутом. Учений дістає еліпс, параболу або гіперболу залежно від того, перетинає площина всі твірні тільки однієї порожнини конуса, паралельна вона одній твірній чи перетинає обидві порожнини. Аполлоній увів назви параболи, гіперболи й еліпса. Для кожної із цих кривих Аполлоній відкриває і доводить основні її властивості. Зокрема, в першій книзі «Коніки» за основу класифікації кривих прийнято, по суті, властивості їх алгебраїчних рівнянь, які Аполлоній записував в словесно-геометричній формі і називав симптомами кривої. Із сучасного погляду можна сказати, що Аполлоній досліджував властивості конічних перерізів відносно прямокутної системи координат, у якій одна вісь збігалася з головним діаметром кривої (в еліпса — це була велика вісь), а друга — проходила через вершину кривої. При цьому вчений досліджував саме ті властивості, які залишаються незмінними (інваріантними) при допустимих перетвореннях. Ця ідея стала зрозумілою лише в XIX ст., коли німецький математик Ф. Клейн (1849—1925) у своїй знаменитій Ерлангенській програмі запропонував розглядати кожну геометрію (синтетичну, аналітичну, проективну, афінну, топологію і т. д.) як теорію, що вивчає геометричні властивості фігур, інваріантних відносно певної спеціальної групи перетворень площини або простору. Зокрема, евклідова геометрія — це наука, яка вивчає інваріанти метричної групи перетворень.
ЕВКЛІД
Евклід був різностороннім ученим. До нас дійшли його твори: «Феномени» присвячений елементарній сферичній астрономії, «Оптика» — теорії перспективи, «Переріз канону» — теорії музики. Це були перші дослідження в галузі математичної фізики. У книжці «Дані» Евклід показав, як задання одних геометричних фігур є одночасно заданням інших. Книгу «Псевдарій» вчений присвятив помилкам у геометричних доведеннях. На жаль, жодного рядка із цього першого збірника математичних софізмів і парадоксів до нас не дійшло.
Безсмертну славу принесли Евкліду «Начала». Ця дивовижна книга пройшла крізь політичні ката строфи і війни 22-х століть, вистояла, вціліла, відіграла виключну роль в історії математики і математичної освіти в усьому світі. Щоб зрозуміти, чому так трапилося, спинимося на ній детальніше.
Спроби викласти головні розділи математики були й до Евкліда. Александрійський математик зробив це настільки досконало, що всі інші твори такого роду було забуто, і жодний з них не зберігся до наших днів.
Евклід осмислив, підсумував і виклав в цільній, логічно пов'язаній системі теорем найвидатніші досягнення грецької математики за трьохсотрічний період її розвитку. Його твір — перший з тих, що дійшли до нас, блискуче — реалізований приклад аксіоматичного викладу геометрії. Евкліда вдосконалювати, коментували, пояснювали, але ніхто не насмілювався піддати сумніву правильність його трактування основних положень геометрії в 13-ти книгах його «Начал».
У XII книзі "Початки" Евкліда містяться наступні теореми про конус:
- Обсяг конуса дорівнює однієї третини обсягу циліндра з рівною основою і рівною висотою; доказ цієї теореми належить Евдоксу Книдской.
- Відношення обсягів двох конусів з рівними основ дорівнює відношенню відповідних висот.
- Якщо два конуса рівновеликі, то площі їх підстав обернено пропорційні відповідним висотам і навпаки.
Багато древніх вчених зосереджували свою увагу на дослідженні конуса.
АРХІМЕД
Найвидатніший учений стародавнього світу, геній усіх віків народився в місті Сіракузах в знатній, але небагатій сім'ї астронома, і мав успадкувати професію батька. Трапилося так, що один з родичів Архімеда, повернувшись в Сіракузи з успішного військового походу на чолі війська, захопив владу і оголосив себе царем. Ставши родичем царя, Архімед дістав можливість продовжувати освіту. Він поїхав у Александрію, де встановив наукові контакти з визначними вченими того часу: астрономом і математиком Кононом Самоським, ученим Ератосфеном Кіренським та іншими, з якими, повернувшись додому, обмінювався науковими працями. Тому багато робіт вченого написано у формі наукових листів.
Перебуваючи в Александрії, Архімед оволодів усім тим, чого досягли на той час математика, астрономія, фізика. Тоді ж Архімед виявив себе як видатний інженер і винахідник. В Єгипті він керував спорудженням дамб і гребель. Відкривши гвинтову лінію, винайшов «архімедів гвинт», або «кохлею»,— механізм, який широко застосовується в найрізноманітніших галузях науки, техніки і в побуті. Гвинтова авіація, гвинтові кораблі, турбіни, різні види шнеків, шнекові преси, гвинтові насоси, вентилятори та багато інших приладів, механізмів і знарядь є нащадками архімедового гвинта.
Скоро ім'я Архімеда стало відомим у багатьох країнах, слава його досягла Сіракуз, де так був потрібний його талант ученого й інженера. Сіракузи переживали тривожні часи. Вони балансували між двома ворогуючими могутніми країнами — Римом і Карфагеном, очікували, щоб стати союзником того, хто переможе в затяжній війні. Архімед, за настійним проханням сіракузького царя Гієрона, повертається в Сіракузи, де понад 25 років віддає науковій та інженерно-винахідницькій роботі, працюючи і головним інженером-теоретиком, і виконавцем широких оборонних робіт. На цей час припадають найзначніші його відкриття.
5. Визначити хто з вчених винайшов формулу для обчислення площ та об'ємів конусів і пірамід.
Давньогрецький математик і механік розробив методи знаходження площ, поверхонь і об’ємів різних фігур і тіл. Про свої відкриття Архімед писав математикові Досіфею: «Я довів, що поверхня всякої кулі в чотири рази більша від площі її великого круга, що об’єм циліндра, основа якого дорівнює площі великого круга кулі, а висота – діаметру кулі, в півтора рази більший від об’єму цієї кулі, а його поверхня (включаючи і площі основ) у півтора рази більша від поверхні кулі; піраміда дорівнює третині призми, якщо вони мають рівні основи і висоти, а конус – третині циліндра (про конус знав і Евдокс). Зрозуміло, що ці властивості тіла мали завжди, але видатні геометри, які жили до Евдокса, не знали цих властивостей і ніхто з них не відкрив їх». Ці відкриття Архімед вважав дуже важливими і висловлював бажання, щоб на могилі встановили пам’ятник, на якому був би зображений циліндр із вписаною в нього кулею.
Висновки
Провівши це дослідження, ми довели гіпотезу: ознайомлення з історією математики сприяє кращому розумінню і засвоєнню математичної термінології, та й загалом навчального матеріалу з математики
Під час роботи у проекті ми:
- встановили та аргументували ким було описано поняття конуса;
- скласли анкету і провели опитування між професіями: Де використовують поняття про конуси і піраміди? Проаналізувати результати роботи у вигляді діаграми.
- переглянули навчальне відео та зробили висновок про значення правильної піраміди.
- описали розв'язання завдання та оцінили наскільки потрібне воно було для кожного з вас.
- дали означення піраміди та оцінили де виникло поняття про неї;
- описали перші згадки про конуси і піраміди та підтвердили дані факти;
- показали та проаналізували з яких пір конуси стали називати конусами, а піраміди - пірамідами.
Корисні ресурси
1. посібник Бевз В. Г. Історія математики. — X.: Вид. гр. «Основа», 2006. — 176 с.
2. вікі стаття.
