Навчальний проект Розвиток знань про прогресії

Назва проекту

Увага! Суперпропозиція!

Автори проекту

Тиненик Ірина

Тема дослідження

Чого вчить історія?

Питання для дослідження

Як давно відомі людям прогресії та їх властивості?

Гіпотеза дослідження

Ми припускаємо, що людям давно відомі прогресії, бо натуральний ряд чисел це найпростіша арифметична прогресія, а математика розвивалась виходячи з практичних потреб людей.

Мета дослідження

З'ясуватим чи існують приклади старовинних задачна використання арифметичної та геометричної прогресій, до якого часу вони відносяться і розв'язати їх.

Результати дослідження

Папірус Рінда фото

Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда.

Звучить вона приблизно таким чином: 100 мір хліба потрібно розділити між пятьма чоловіками таким чином, щоб другий отримав на стільки ж більше ніж перший, на скільки третій отримав більше другого, четвертий більше третього і п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших мають отримати в 7 разів меньше трьох інших. Скількі потрібно дати кожному?

Розв'язування:

Мал. з книги Перельмана

Очевидно, що кількість хліба, отриманого чоловіками, являє собою зростаючу арифметичну прогресію. Де перший її член х, а різниця y. Тоді отримаємо:

доля першого  х, доля другого  х + у, доля третього х + 2y,
 доля четвертого х + 3y, доля п'ятого  х + 4y.

отримаємо систему рівнянь і після її розв'язування отримаємо відповідь.

Ось іще одна дуже відома задача з того ж папірусу:

«У семи людей по сім кицьок; кожна кицька з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоска може вирости по сім мір ячменю. Наскільки великі числа цього ряду та їх сума?»

Ця ж задача багато разів з різними варіаціями повторювалась і у інших народів в інші часи. Наприклад, у книзі XIII ст. «Книга абакa» Леонардо Пізанського(Фібоначчи) є задача, в якій фігурують 7 старух, що направились до Риму (імовірно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, і в кожному з яких по 7 хлібів, в кожному з яких по 7 ножів, і кожен з яких в 7 ножнах. В задачі питають, скільки всього предметів.
Дослідники стверджують, давні вавілоняни також добре були знайомі з обома прогресіями.

Безумовно найвідомішою із старовинних задач на прогресії безумовно є легенда про винайдення шахів.Астрономічна яку згідно домовленості мали видати у нагороду старцю просто приголомшує Ця задача яскраво представляє характер геометричної послідовності.
Наступний вчений, що вніс величезний вклад у вчення про прогресії є Архімед. В творі Квадратура параболи Архімед довів, що площа сегмента параболи, що відскається від неї прямою, складає 4/3 від площи вписаного в цей сегмент трикутника. Для доведення Архімед підрахував сумму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1/4.
Також відома цікава легенда про дитинство Карла Фрідріха Гауса.Згідно з цією легендою, шкільний вчитель математики, щоб завантажити дітей на тривалий час, запропонував їм підрахувати суму чисел від 1 до 100. Маленький Гаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1+100=101, 2+99=101 і т. д., і миттєво отримав результат: 50*101=5050.

Арифметика Магницкого

Багато задач на прогресії можна знайти в першій російській математчній енциклопедії "Арифметика" написаної Леонтієм Магніцьким. В цій же книжці знайшов і задачу про "Суперпропозицію з конем" автор збірника "Живая алгебра" Я.І. Перельман

Ось ще одна цікава розпоповідь у книзі Якова Перельмана «Жива математика», а він у свою чергу зазаначає. що розповідь запозичена із старовинного латинського рукопису, що належить одній з приватних колекцій Англії. Цю задачу можна справедливо назвати ""Щедра" винагорода".

Теренцій був відомим воєначальником в Римі. Багато років він віддано служив імператору і здобув багато перемог. Після чергової перемоги імператор рообіцяв нагородити Теренція . Теренцій попросив імператора забезпечити його старість певним статком. Та нажаль імператор не відзначався щедрістю і прохання Теренція про 1 міліон дінарієв примусила його сильно замислитись. Коли на наступний день Тетренцій прийшов за винагородою імператор запропонував йому замість «незначної» нагороди справжнє багатство: «Першого дня ти зайдеш до моєї казни і тримаєш монету в 1 брас (п'ята частина дінарія) , другого дня ти отримаєш монету в 2 раси , потім – 4, 8 і тд,, їх будуть щоденно виготовляти для тебе. Ти будеш отримувати їх доти доки зможеш їх винести без сторонньої допомоги. Таким чином, все що ти зможеш винести буде тобі нагородою.Теренцій залишився дуже задоволений пропозицією царя. Так почались щоденні ходіння Теренція до монетного двору. Першого дня він виніс монету в 1 брас, вага якої 5 г, і її діаметр всього лише 21мм. Дуже легкими були також його походи 2-го, 3-го, 4-го, 5-го, і 6-го днів. 7-мА монета важила—320 г і мала діаметр 84мм. Але вже 13-та монета важила 20.5 кг і в діаметрі мала 34мм. Щоб спростити хід подальших дій просто наведемо в таблиці розрахунки наступних днів. З неї зрозуміло, що 18-й день став останнім і дійсно:



винагорода воїна становила лише 262 143 браси замість 5 000 000 брасів. Що майже в 19 разів менше ніж він просив. Тільки тепер Теренцій зрозумів дійсну щедрість імператора. Бідний Теренцій такого б не сталося якби він знав, .що таке геометрична прогресія

Висновки

Наша гіпотеза підтвердилась і дійсно з досліджених джерел видно, що властивості арифметичної і геометричної прогресій досить давно зацікавили людей. І як дотепно дехто з них використовував це знання.

Корисні посилання

Библиотека по математике

ван дер Варден ПРОБУЖДАЮЩАЯСЯ НАУКА. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции Перевод с голландского И.Н.Веселовского, Москва, 1959
Сектор редкой книги НБ С.Петербурга
Арифметика Магницкого