Wiki-стаття на тему «Способи доведення теореми Піфагора»

Назва проекту

Теорема Піфагора

Автори проекту

Група учнів 8 класу-"Дослідники".

Тема дослідження

Способи доведення теореми Піфагора

Проблема дослідження

Користуючись історичними фактами розглядаємо теореми, які пізніше назвали теоремою Піфагора.Розгянемо геометричі, алгебраїчні, графічні доведення відомої теореми.

Гіпотеза дослідження

Хочемо впевнитись, що квадрат гіпотенузи дійсно дорівнює сумі квадратів катетів.

Мета дослідження

З"ясувати, які способи доведення теореми Піфагора існують.

Результати дослідження

1. Теорема Піфагора

Теорема Піфагора — одна із головних теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа.

Теорема звучить наступним чином:

В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.

Також доведено зворотне твердження (називають також зворотною до теореми Піфагора):

Для будь-яких трьох додатних чисел a, b і c, таких що a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.

2. Доведення теореми Піфагора

2.1 Алгебраїчне доведення

Відомо понад сто доведень теореми Піфагора. Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.

Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут — .

Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що і необхідно було довести.

2.2 За подібністю трикутників

Нехай ABC — прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороною AB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо тоді

Це можна записати у вигляді

Якщо додати ці дві рівності, отримаєм

Іншими словами, Теорема Піфагора:

2.3 Доведення Евкліда

В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.

Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.

Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.

Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом.

Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)

Аналогічно міркуюючи отримаєм CKLE = ACIH = AC2

З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2.

2.4 Доведення Леонардо да Вінчі

Головні елементи докази - симетрія і рух. Розглянемо креслення, як видно із симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови).

Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо точки A, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і DABG.

Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.

2.5 Доведення Хоукінса

Наведемо ще один доказ, що має обчислювальний характер, проте сильно відрізняється від всіх попередніх. Воно опубліковано англійцем Хоукінсом у 1909 році; чи було воно відоме до цього-важко сказати.

Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90 ° так, щоб він зайняв положення A'CB '. Продовжимо гіпотенузу A'В 'за точку A' до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок В'D буде висотою трикутника В'АВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник A'АВ'В. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA 'і СВВ' (або на два трикутника A'В'А і A'В'В).

SCAA '= b ² / 2

SCBB '= a ² / 2

SA'AB'B = (a ² b ²) / 2

Трикутники A'В'А і A'В'В мають загальну підставу с і висоти DA і DB, тому:

SA'AB'B = c * DA / 2 c * DB / 2 = c (DA DB) / 2 = c ² / 2

Порівнюючи два отримані вирази для площі, отримаємо:a ²+ b ² = c ² .

Теорема доведена.

Доведення Вальдхейма:

Це доказ також має обчислювальний характер. Можна використовувати малюнки для доказу заснованого на обчисленні площ двома способами.

Для того щоб довести теорему користуючись перший малюнком достатньо тільки висловити площа трапеції двома шляхами.

S трапеціі = (ab) ² / 2 S трапеціі = a ² b ² c ² / 2

Урівняв праві частини отримаємо: a ² b ² = c ²

Теорема доведена.

2.6 Доведення методом розкладання

Існує цілий ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і на гіпотенузі, розрізаються так, що кожної частини квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння докази достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивись!", Як це робилося у творах древніх індуських математиків.

2.7 Доведення Енштейна

Почнемо з доказу Енштейна (рис. 1); його перевагою є те, що тут у якості складових частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF.

Розкладання на трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку.

На малюнку допоміжні лінії змінені за пропозицією Нільсена.

Висновки

Доведення теореми відкрило нову епоху в еволюції наукової думки