Аксіоматика Погорєлова

Система аксіом Погорєлова

Розглянемо ще одну з сучасних аксіоматичних побудов геометрії Евкліда на основі аксіом, запропонованих українським геометром академіком А. В. Погорєловим, яка найближче стоїть до шкільного курсу геометрії. Основними об'єктами в системі аксіом Погорєлова - це точка, пряма і площина, а основними відносини - «приналежність», «лежати між», «довжина», «градусна міра». Система аксіом складається з дев'яти аксіом планіметрії і трьох аксіом стереометрії. I група. аксіоми належності

Аксіоми належності на площині визначають властивості взаємного розташування точок і прямих, які визначаються відношенням «належати». При цьому вважається рівнозначним вираження: «точка належить прямій»; «Точка лежить на прямій»; «Пряма проходить через точку».

. Хоч би якими були дві точки, існує пряма, яка проходить через ці точки, і причому тільки одна.
. На кожній прямій лежать, принаймні дві точки. Існують три точки, що не лежать на одній прямій.

II група. аксіоми порядку

Ці аксіоми виражають властивості взаємного розташування точок на прямій, тобто пояснюється ставлення «лежати між».

. З трьох точок одна і тільки одна лежить між двома іншими.
. Пряма розбиває безліч точок площині, які їй не належать, на два підмножини (півплощини) так, що відрізок з'єднує точки одній півплощині, не перетинає пряму, а відрізок, який з'єднує точки різних напівплощин, перетинається цієї прямої.

III група. Аксіоми заходи для вимірювання кутів

Ці аксіоми визначають поняття «довжина відрізка», «градусна міра кута».

. Кожен відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Якщо точка С лежить на відрізку АВ, то довжина відрізка АВ дорівнює сумі довжин відрізків АС і ВС.
. Кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює  . Якщо промінь з проходить між сторонами кута (ав), то градусна міра кута (ав) дорівнює сумі градусних мір кутів (ас) і (нд).

IV група. Аксіома існування трикутника, рівного даному

На основі аксіом заходи для відрізків і кутів можна ввести відношення рівності для відрізків, кутів і трикутників.

. Нехай АВС - трикутник і а - промінь. Тоді існує трикутник  рівного трикутнику АВС, в якому вершина  збігається з початком променя а, вершина  лежить на промені а, а вершина  лежить в заданій полуплоскости щодо прямої, яка визначається променем а.

V група. Аксіома існування відрізка даної довжини

. Яким би не було дійсне число  , Існує відрізок довжини d.

VI група. аксіома паралельності

. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше однієї прямої, паралельної даній.

VII група. просторові аксіоми

.Хоч би яка була площину, існують точки, які належать цій площині, і точки, які їй не належать. .Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. .Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і причому тільки одну.