Відмінності між версіями «"Чи використовувалися корені в давнину?"»
(→Гіпотеза дослідження) |
(→Результати дослідження) |
||
| (не показано 17 проміжних версій цього учасника) | |||
| Рядок 1: | Рядок 1: | ||
| − | |||
| Рядок 20: | Рядок 19: | ||
==Мета дослідження== | ==Мета дослідження== | ||
| + | Розглянути історію виникнення ірраціональних чисел | ||
| + | |||
==Результати дослідження== | ==Результати дослідження== | ||
| + | Сукупність раціональних чисел немає властивості неперервності. Тому вона виявилась недостатньою при вивченні величин, які змінюються неперервно. Виникла потреба в розширенні поняття числа, яка полягає в переході від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних чисел так званих ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні лиш наближено. | ||
| + | |||
| + | Ірраціональні числа виникли пізніше від раціональних і їх довго не визнавали за числа як такі; називали то “несумірними”, то “невиразними”, то “супротивними щодо розуму”. | ||
| + | {| | ||
| + | ||[[Файл: 666d72f919ac7d4a0936de970ed21ba7bc81cc88142607.jpg|thumb|right|Стародавні греки]] || Ще стародавні греки відкрили в геометрії існування несумірних відрізків. Це відкриття було поворотним пунктом в історії античної математики. Важко переоцінити значення цього відкриття. Ми не знаємо точно дослідження яких питань привело до відкриття несумірності. | ||
| + | Це могло статися: | ||
| + | |||
| + | 1)в геометрії при знаходженні спільної міри сторони і діагоналі квадрата; | ||
| + | |||
| + | 2)в арифметиці могло виникнути питання про точне визначення такого дробу, квадрат якого дорівнює два. | ||
| + | |||
| + | Як би там не було мова йшла про відшукання і дослідження величини, яку ми тепер позначаємо [[Файл:Корень.gif]] . | ||
| + | |||
| + | Відкриття факту, що між двома відрізками—стороною і діагоналлю квадрата не існує спільної, хоч як завгодно малої, міри, привело до справжньої кризи основ грецької математики. | ||
| + | |} | ||
| + | {| | ||
| + | ||[[Файл: Рисунок11.png|thumb|right|Піфагорійці]] || Піфагорійці, які відкрили існування несумірних відрізків, тримали це відкриття в таємниці, бо воно суперечило їх ідеалістичному вченню про гармонію чисел у навколишньому світі; не можна було визнавати справжнім їх учення про цілочисельну основу всього існуючого, у тому числі й геометричних величин. | ||
| + | |||
| + | “Піфагорійці пов’язували вічну душу з вічними формами числа, приписуючи цю властивість зокрема числу 10=1+2+3+4. Увесь світ, за їх ученням, складався з чистих чисел. Ця форма крайнього ідеалізму проявляється у Святій Трійці, чотирьох євангелістах, семи смертних гріхах тощо. | ||
| + | |||
| + | Відкриття несумірності діагоналі квадрата з його стороною нанесло серйозний удар по всій піфагорійській школі і сприяло її розпаду. | ||
| + | Незабаром було встановлено, що несумірність діагоналі і сторони квадрата не є винятком, що існують й інші величини, відношення яких не можна подати відношенням двох (цілих) чисел. Феодор з Кірени (Vст.до н.е.) показав, що сторони квадратів, площі яких лорівнюють 3, 5, 6, 7,…, 17, несумірні з стороною одиничного квадрата. | ||
| + | |||
| + | Замість того, щоб розширити поняття числа, греки дійшли висновку, що треба відокремити вивчення цілих чисел від геометрії; встановлюється точна межа між арифметикою і геометрією. | ||
| + | |} | ||
| + | {| | ||
| + | ||[[Файл: Iпппп.jpg|thumb|right|Евклід]] || Усі ірраціональності, до яких ведуть розв'язування квадратних рівнянь, Евклід побудував суто геометрично. Відомо “задача про подвоєння куба” привела греків до ірраціональностей вищого порядку; цю задачу вони розв'язали також геометрично і за допомогою побудови довели існування несумірних відрізків вищого порядку. | ||
| + | ||[[Файл: I_(1).jpg|thumb|right|Арістотель]] || Відкриттю несумірних величин надавали важливого значення ще в старовину. Так, видатний старогрецький філософ [http://ua-referat.com/%D0%90%D1%80%D1%96%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C Арістотель] (384-322р.р.дон.е.) вказував, що воно викликало здивування, як і всяке справжнє наукове відкриття. | ||
| + | |} | ||
| + | |||
| + | Факт існування несумірних відрізків не гальмував розвитку геометрії. Греки розробили теорію відношень відрізків, яка враховувала можливість їх несумірності; вони вміли порівнювати такі відношення за величиною, виконувати над ними арифметичні дії (в суто геометричній формі), інакше кажучи, користувалися такими відношеннями як числами. | ||
| + | |||
| + | Щоб позбутися ірраціональних чисел, греки вживали їх наближення, досить точні для практичних обчислень. В Архімеда ці наближення мали науковий характер. І хоч Герон Олександрійський при обчисленні площ добуває квадратний корінь з добутку чисел, а Діофант Олександрійський говорить уже про числа нераціональні, однак, ідея про те, що відношеня довжин несумірних відрізків можна розглядати як число, в грецькій математиці не була усвідомлена до кінця. | ||
| + | |||
| + | Отже: можна сказати, що у вирішенні проблеми в галузі розширення поняття про число греки майже нічого не зробили. Як для Евкліда, так і, по суті, для Діофанта існувало тільки ціле число. | ||
| + | |||
| + | Індійці і араби розглядали ірраціональні числа як числа нового виду. Вони не задумувались над тим, чи законно додавати, перемножувати, ділити ірраціональні числа. Так, наприклад, Бхаскара знищує ірраціональніcть у знаменнику, множачи чисельник і знаменник на той самий ірраціональний множник. | ||
| + | |||
| + | Термін “ірраціональний” у математичному розумінні вперше застосував у XIV ст.англійський математик Брадвардін (близько 1290-1349). Поняття числа з цим терміном пов’язує вперше (1544) німецький математик Штіфель. Але й він під час введення дій над ірраціональними числами вдається, як і Евклід, до відрізків. | ||
| + | |||
| + | Таким міркуванням властива загальна риса – ірраціональні числа не вважали повноправними числами. Але ці числа треба було розглядати, вивчати, бо зокрема, обчислюючи ірраціональні корені алгебраїчних рівнянь і логарифми чисел, визначаючи значення тригонометричних функцій і т.д., доводилося шукати їх достатні раціональні наближення і, по суті, оперувати ними як числами. | ||
| + | |||
| + | Велике значення для розвитку поняття ірраціонального числа мали праці Стевіна. Він був першим математиком, який повністю підтримував точку зору визнання повної рівноправності раціональних та ірраціональних чисел, однак, останні почали застосовувати разом з від’ємними числами тільки після появи геометрії Декарта (1637). | ||
| + | |||
| + | Ідея Декарта привела до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику була введена змінна величина. | ||
| + | |||
| + | До початку XVIII ст. сформувалися три тлумачення поняття ірраціональної величини: | ||
| + | |||
| + | 1).ірраціональне число розглядали як корінь n-го степеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити “точно” цілим або дробовим числом (найдавніше); | ||
| + | |||
| + | 2).ірраціональне число трактували як межу, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько (це тлумачення йде від Стевіна і Валліса); | ||
| + | |||
| + | 3).число розглядали як відношення однієї величини до другої величини такого самого роду, взятої за одиницю; коли величина несумірна з одиницею, число називали ірраціональним (Ньютон, Декарт). | ||
| + | |||
| + | Два останні означення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше трималися першого означення і говорили не про ірраціональні числа, а про ірраціональні величини. Тільки найпередовіші математики кінця XVII і початку XVIII ст.—Ньютон , [http://ua-referat.com/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D1%96%D1%86 Лейбніц] та інші—вважали поняття ірраціонального числа об’єктивним, трактували його по-новому і широко застосовували в математиці. | ||
| + | |||
| + | У другій половині XVIIIст., у зв’язку з дальшим розвитком механіки і математики, об’єктивність поняття ірраціонального числа набуває ширшого визнання. Третє означення ірраціонального числа стає на перше місце і повсюдно проникає в літературу. Водночас дещо розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число є нескінченним неперіодичним дробом. Однак аж до другої половини XIXст.не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел. | ||
| + | |||
| + | Остаточного розвитку теорія ірраціональних чисел набула тільки в другій половині XIXст.у працях німецьких математиків Дедекінда, Кантора і Вейєрштрасса. | ||
| + | |||
==Висновки== | ==Висновки== | ||
| + | Отже, в результаті дослідницької діяльності і опрацювання літератури, ми відслідкували історію ірраціонального числа. Познайомилися з видатними математиками, які намагалися пояснити ці числа. | ||
| + | |||
==Корисні ресурси== | ==Корисні ресурси== | ||
| + | Література. | ||
| + | |||
| + | #Бевз Г.П. Методика викладання математики: Арифметика, алгебра, початки аналізу і геометрії.– К.: Вища школа, 1972.– 320 с. | ||
| + | #Бевз Г.П. Методика викладання математики.– К.: Вища школа, 1989.– 366 с. | ||
| + | #Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.– К.: Рад. школа, 1963.– 69с. | ||
| + | #Капіносов А.М. Алгебра 9 клас: заключне повторення. Тестова перевірка знань, умінь і навичок.– Дніпропетровськ: Дніпро, 1993.– 96 с. | ||
| + | #Кованцов М.І. Математична хрестоматія: Алнебра і початки аналізу.– К.: Рад. школа, 1977.– 174 с. | ||
| + | #Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа.– К.: Вища школа, 1974.– 50 с. | ||
| + | #Макаричев Ю.М., Мигдюк Н.Г. та ін. Підручник: Алгебра 8 клас.– К.: Рад. школа, 1990.– 356 с. | ||
| + | #Мордкович А.Г. Алгебра 8 клас: учебник.– М.: 1998.– 150с. | ||
| + | #Мордкович А.Г. Методические рекомендации для учителя.– М.: 1998.– 72 с. | ||
| + | #Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя.– М.: Просвещение, 1987.– 86 с. | ||
| + | #Фільчаков П.Ф. Довідник з елементарної математики для вступників до ВУЗів.– К.: Наукова думка, 1973.– 654 с. | ||
| + | #Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач.– М.:Просвещение, 1989.– 352 с. | ||
Поточна версія на 21:13, 1 квітня 2012
Зміст
Назва проекту
Таємниця квадратного кореня
Автори проекту
Учні 8-го класу
Тема дослідження
Чи використовувалися корені в давнину?
Проблема дослідження
Коли і ким були введені ірраціональні числа?
Гіпотеза дослідження
Сукупність раціональних чисел немає властивості неперервності. Тому вона виявилась недостатньою при вивченні величин, які змінюються неперервно. Виникла потреба в розширенні поняття числа, яка полягає в переході від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних чисел так званих ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні лиш наближено.
Мета дослідження
Розглянути історію виникнення ірраціональних чисел
Результати дослідження
Сукупність раціональних чисел немає властивості неперервності. Тому вона виявилась недостатньою при вивченні величин, які змінюються неперервно. Виникла потреба в розширенні поняття числа, яка полягає в переході від множини раціональних чисел до множини дійсних чисел. Цей перехід полягає в приєднанні до раціональних чисел так званих ірраціональних чисел, які виражаються через раціональні лиш наближено.
Ірраціональні числа виникли пізніше від раціональних і їх довго не визнавали за числа як такі; називали то “несумірними”, то “невиразними”, то “супротивними щодо розуму”.
| Ще стародавні греки відкрили в геометрії існування несумірних відрізків. Це відкриття було поворотним пунктом в історії античної математики. Важко переоцінити значення цього відкриття. Ми не знаємо точно дослідження яких питань привело до відкриття несумірності.
Це могло статися: 1)в геометрії при знаходженні спільної міри сторони і діагоналі квадрата; 2)в арифметиці могло виникнути питання про точне визначення такого дробу, квадрат якого дорівнює два. Як би там не було мова йшла про відшукання і дослідження величини, яку ми тепер позначаємо Відкриття факту, що між двома відрізками—стороною і діагоналлю квадрата не існує спільної, хоч як завгодно малої, міри, привело до справжньої кризи основ грецької математики. |
| Піфагорійці, які відкрили існування несумірних відрізків, тримали це відкриття в таємниці, бо воно суперечило їх ідеалістичному вченню про гармонію чисел у навколишньому світі; не можна було визнавати справжнім їх учення про цілочисельну основу всього існуючого, у тому числі й геометричних величин.
“Піфагорійці пов’язували вічну душу з вічними формами числа, приписуючи цю властивість зокрема числу 10=1+2+3+4. Увесь світ, за їх ученням, складався з чистих чисел. Ця форма крайнього ідеалізму проявляється у Святій Трійці, чотирьох євангелістах, семи смертних гріхах тощо. Відкриття несумірності діагоналі квадрата з його стороною нанесло серйозний удар по всій піфагорійській школі і сприяло її розпаду. Незабаром було встановлено, що несумірність діагоналі і сторони квадрата не є винятком, що існують й інші величини, відношення яких не можна подати відношенням двох (цілих) чисел. Феодор з Кірени (Vст.до н.е.) показав, що сторони квадратів, площі яких лорівнюють 3, 5, 6, 7,…, 17, несумірні з стороною одиничного квадрата. Замість того, щоб розширити поняття числа, греки дійшли висновку, що треба відокремити вивчення цілих чисел від геометрії; встановлюється точна межа між арифметикою і геометрією. |
Файл:Iпппп.jpg Евклід |
Усі ірраціональності, до яких ведуть розв'язування квадратних рівнянь, Евклід побудував суто геометрично. Відомо “задача про подвоєння куба” привела греків до ірраціональностей вищого порядку; цю задачу вони розв'язали також геометрично і за допомогою побудови довели існування несумірних відрізків вищого порядку. | Відкриттю несумірних величин надавали важливого значення ще в старовину. Так, видатний старогрецький філософ Арістотель (384-322р.р.дон.е.) вказував, що воно викликало здивування, як і всяке справжнє наукове відкриття. |
.jpg)
Факт існування несумірних відрізків не гальмував розвитку геометрії. Греки розробили теорію відношень відрізків, яка враховувала можливість їх несумірності; вони вміли порівнювати такі відношення за величиною, виконувати над ними арифметичні дії (в суто геометричній формі), інакше кажучи, користувалися такими відношеннями як числами.
Щоб позбутися ірраціональних чисел, греки вживали їх наближення, досить точні для практичних обчислень. В Архімеда ці наближення мали науковий характер. І хоч Герон Олександрійський при обчисленні площ добуває квадратний корінь з добутку чисел, а Діофант Олександрійський говорить уже про числа нераціональні, однак, ідея про те, що відношеня довжин несумірних відрізків можна розглядати як число, в грецькій математиці не була усвідомлена до кінця.
Отже: можна сказати, що у вирішенні проблеми в галузі розширення поняття про число греки майже нічого не зробили. Як для Евкліда, так і, по суті, для Діофанта існувало тільки ціле число.
Індійці і араби розглядали ірраціональні числа як числа нового виду. Вони не задумувались над тим, чи законно додавати, перемножувати, ділити ірраціональні числа. Так, наприклад, Бхаскара знищує ірраціональніcть у знаменнику, множачи чисельник і знаменник на той самий ірраціональний множник.
Термін “ірраціональний” у математичному розумінні вперше застосував у XIV ст.англійський математик Брадвардін (близько 1290-1349). Поняття числа з цим терміном пов’язує вперше (1544) німецький математик Штіфель. Але й він під час введення дій над ірраціональними числами вдається, як і Евклід, до відрізків.
Таким міркуванням властива загальна риса – ірраціональні числа не вважали повноправними числами. Але ці числа треба було розглядати, вивчати, бо зокрема, обчислюючи ірраціональні корені алгебраїчних рівнянь і логарифми чисел, визначаючи значення тригонометричних функцій і т.д., доводилося шукати їх достатні раціональні наближення і, по суті, оперувати ними як числами.
Велике значення для розвитку поняття ірраціонального числа мали праці Стевіна. Він був першим математиком, який повністю підтримував точку зору визнання повної рівноправності раціональних та ірраціональних чисел, однак, останні почали застосовувати разом з від’ємними числами тільки після появи геометрії Декарта (1637).
Ідея Декарта привела до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було встановлено взаємно однозначну відповідність. У математику була введена змінна величина.
До початку XVIII ст. сформувалися три тлумачення поняття ірраціональної величини:
1).ірраціональне число розглядали як корінь n-го степеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити “точно” цілим або дробовим числом (найдавніше);
2).ірраціональне число трактували як межу, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько (це тлумачення йде від Стевіна і Валліса);
3).число розглядали як відношення однієї величини до другої величини такого самого роду, взятої за одиницю; коли величина несумірна з одиницею, число називали ірраціональним (Ньютон, Декарт).
Два останні означення ірраціонального числа довго не поширювались. Математики найчастіше трималися першого означення і говорили не про ірраціональні числа, а про ірраціональні величини. Тільки найпередовіші математики кінця XVII і початку XVIII ст.—Ньютон , Лейбніц та інші—вважали поняття ірраціонального числа об’єктивним, трактували його по-новому і широко застосовували в математиці.
У другій половині XVIIIст., у зв’язку з дальшим розвитком механіки і математики, об’єктивність поняття ірраціонального числа набуває ширшого визнання. Третє означення ірраціонального числа стає на перше місце і повсюдно проникає в літературу. Водночас дещо розвивається і друге тлумачення поняття ірраціонального числа. Так, Ейлер, Ламберт та інші вчені встановили, що нескінченний періодичний дріб завжди є раціональним числом. Тому ірраціональне число є нескінченним неперіодичним дробом. Однак аж до другої половини XIXст.не було розроблено загальної теорії ірраціональних чисел.
Остаточного розвитку теорія ірраціональних чисел набула тільки в другій половині XIXст.у працях німецьких математиків Дедекінда, Кантора і Вейєрштрасса.
Висновки
Отже, в результаті дослідницької діяльності і опрацювання літератури, ми відслідкували історію ірраціонального числа. Познайомилися з видатними математиками, які намагалися пояснити ці числа.
Корисні ресурси
Література.
- Бевз Г.П. Методика викладання математики: Арифметика, алгебра, початки аналізу і геометрії.– К.: Вища школа, 1972.– 320 с.
- Бевз Г.П. Методика викладання математики.– К.: Вища школа, 1989.– 366 с.
- Бородін О.І. Історія розвитку поняття про число і системи числення.– К.: Рад. школа, 1963.– 69с.
- Капіносов А.М. Алгебра 9 клас: заключне повторення. Тестова перевірка знань, умінь і навичок.– Дніпропетровськ: Дніпро, 1993.– 96 с.
- Кованцов М.І. Математична хрестоматія: Алнебра і початки аналізу.– К.: Рад. школа, 1977.– 174 с.
- Кушель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подільності. Досконалі числа.– К.: Вища школа, 1974.– 50 с.
- Макаричев Ю.М., Мигдюк Н.Г. та ін. Підручник: Алгебра 8 клас.– К.: Рад. школа, 1990.– 356 с.
- Мордкович А.Г. Алгебра 8 клас: учебник.– М.: 1998.– 150с.
- Мордкович А.Г. Методические рекомендации для учителя.– М.: 1998.– 72 с.
- Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки: Книга для учителя.– М.: Просвещение, 1987.– 86 с.
- Фільчаков П.Ф. Довідник з елементарної математики для вступників до ВУЗів.– К.: Наукова думка, 1973.– 654 с.
- Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач.– М.:Просвещение, 1989.– 352 с.
