Поточна версія на 09:42, 22 серпня 2012

Назва проекту

"Функція. Її секрети та графік"

Назва навчальної теми

Функції

Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети

Алгебра, геометрія

Вік учнів, клас

12-13 років 7 клас

Стислий опис проекту

Проект присвячений вивченню теми "Функції". Проект "Функція. Її секрети та графік" присвячений важливому поняттю сучасної математики функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява. Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.

Повний План вивчення теми

План вивчення теми

Навчальні цілі

Після завершення проекту учні зможуть: - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету; - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання; - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки; - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря; - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації; - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. - будувати та читати графік лінійної функції; - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b; - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції, - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках; - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів; - Знати способи задання функції; - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної; - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках; - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль; - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки; - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;

Опис оцінювання

Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.

Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)

Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.

Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.) Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п.

Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y). Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s). Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу. В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”. Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції. Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями? Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.

Ідея відповідності (19 століття). В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”. Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”. Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x). Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.

Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...). Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.

Відомості про автора

Ім'я, прізвище

Данилишена Тетяна Аларіївна

Фах, навчальний предмет

Вчитель математики

Навчальний заклад

Іванковецький НВК

Місто\село, район, область

Хмельницький район

Контактні дані

Відомості про тренінг

Дати проведення тренінгу

14-20 серпня 2012 р.

Місце проведення тренінгу

іванковецький НВК

Тренери

Шевчук Наталія Андріївна