Перегляд вихідного коду сторінки Проект на тему

 






==Назва проекту==

Володарі світу.

==Автори проекту==
Учні 11 класу. Група "Історики"

==Тема дослідження==
Чи мають многогранники свою історію?

==Проблема дослідження==
Що ми знаємо про многогранники?

==Гіпотеза дослідження==
Многогранники були відомі ще в давнину.

==Мета дослідження==
Дослідити історію розвитку математичних знань про многогранники.

==Результати дослідження==


[[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]
Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. 
Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна
піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково 
кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.
[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]
Фалеса.
Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса  немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].

----
‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]
Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах».  Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].

----
[[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]
Правильні многогранники. 
Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» -  чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник.  Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]
[[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]
‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]
[[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]
Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.
Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. 
З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. 

----
[[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]
Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.
Книги  11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як  «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].

----
[[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]
Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. 

----

У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».
Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.
Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.
Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.
 
Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).
А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.
Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].
 
----

Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.

==Висновки==
Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.

==Корисні ресурси==

[http://matematik.org.ua/?cat=18 Об’єднання вчителів математики] 

[http://formula.co.ua/polyhedron.php Математика для школи] 

[http://shkolyar.in.ua/mnogogrannyly/pranylni-mnogogrannyky Школяр України] 

[http://www.vedic-culture.in.ua/uk/nauka/astronomija/211-pohodzhennja-vsesvitu-i-vypadkovist.html Вся елементарна математика]

[http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo15.htm Сторінки історії математики] 

[http://matematuka.inf.ua/rizne/hist_mat_bevz/hist_mat_bevz.html http://www.stellarium.org/uk/ Сторінки історії математики]

[http://volochinaviv1.ucoz.ru/index/matematika/0-24 Сайт вчителя математики  Валентини Волошкової]

[http://wiki.fizmat.tnpu.edu.ua/index.php/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 Фізмат Вікіпедія]