Проект на тему
Зміст
Назва проекту
Володарі світу.
Автори проекту
Учні 11 класу. Група "Історики"
Тема дослідження
Чи мають многогранники свою історію?
Проблема дослідження
Що ми знаємо про многогранники?
Гіпотеза дослідження
Многогранники були відомі ще в давнину.
Мета дослідження
Дослідити історію розвитку математичних знань про многогранники.
Результати дослідження
Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.
Фалеса. Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].
Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].
Правильні многогранники.
Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр. Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3].
Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну. Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].
Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6].
У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера». Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна. Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами. Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.
Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.). А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні. Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].
Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.
Висновки
Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.
Корисні ресурси
Об’єднання вчителів математики
http://www.stellarium.org/uk/ Сторінки історії математики
