Власова Олена: Лінійна алгебра

2017-10-25T19:04:43Z

Лінійна алгебра

Нова сторінка

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ №1

1. Обчислити визначник : а) розклавши його по елементах -го рядка; б) розклавши його по елементах -го стовпця; в) отримавши попередньо нулі в -му рядку; г) привівши його до трикутного вигляду; д) використати теорему Лапласа.
, , .

Розв’язання.
а) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах рядка:

.
б) Застосуємо теорему про розклад визначника по елементах стовпця:

.
в) Застосуємо властивості визначників, а потім теорему про розклад визначника по елементах рядка, отримаємо:

.
г) Застосуємо властивості визначників, отримаємо:

.
д) Застосуємо теорему Лапласа:

.

2. Знайти розв’язок матричного рівняння двома способами, якщо
, .

Розв’язання.
І спосіб.
Запишемо розв’язок рівняння у вигляді: . Знайдемо обернену матрицю, тобто , за допомогою алгебраїчних доповнень:
.
Обчислимо алгебраїчні доповнення:
, , ,
, , ,
, , .
Будемо мати: . Підставимо та отримаємо:

.
Таким чином, .
ІІ спосіб.
Запишемо розширену матрицю та приведемо її до ступінчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків:

.
Таким чином, .

3. Перевірити на сумісність систему рівнянь й у випадку сумісності розв’язати її: а) методом Гаусса; б) по формулах Крамера; в) за допомогою оберненої матриці (матричним методом);

Розв’язання.
а) Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:

.
Будемо мати, що система сумісна і має єдиний розв’язок. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:

б) Розв’яжемо систему за формулами Крамера. Для цього обчислимо визначники:
,
,
,
.
Будемо мати: , , .
в) Розв’яжемо систему засобами матричного числення. Для цього перепишемо систему в матричному вигляді: , де , , . Розв’язок буде: . Знайдемо обернену матрицю, тобто , за допомогою елементарних перетворень:
Обчислимо алгебраїчні доповнення:

.
Будемо мати: . Підставимо та отримаємо:

.

4. Знайти загальний та один частинний розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Розв’язання.
Приведемо розширену матрицю системи до ступінчастого виду:

.
Будемо мати, що система сумісна і має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:

– загальний розв’язок системи;
– частинний розв’язок системи.

5. Виконати дії:
а) , якщо , , ;
б) знайти значення многочлена від матриці .

Розв’язання.
а) Знайдемо , , , , :

;
;

,
;
.
б) значення многочлена від матриці А буде мати вигляд: . Знайдемо , , , :

;
;
;

.

6. Розв’язати рівняння:
а) ; б) ; в) .

Розв’язання.
а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
,
,
,
,
,
, .
б) Обчислимо визначник:
,
,
,
,
.
в) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
,
,
,
,
,
,
, .

7. Розв’язати нерівності:
а) ; б) .

Розв’язання.
а) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
,
,
,
,
,
.
б) Застосуємо властивості визначника, а потім обчислимо:
,
,
,
,
,
,
.

8. Знайти:
1) матрицю переходу від базису до базису ;
2) матрицю переходу від базису до базису ;
3) координати вектора в базисі ;
4) координати вектора в базисі .
, , ; , , ; .

Розв’язання.
1) Для знаходження матриці переходу від базису до базису скористаємось матричним рівнянням . Розв’яжемо його:

.
Будемо мати: .
2) Для знаходження матриці переходу від базису до базису скористаємось формулою . Знайдемо :

.
Таким чином, .
3) Для знаходження координат вектора в базисі скористаємось означенням координат вектора в базисі:
.
Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

розв’яжемо яку методом Крамера:
, ,
, ;
, , .
Таким чином, в базисі вектор має координати .
4) Для знаходження координат вектора в базисі скористаємось означенням координат вектора в базисі:
.
Підставивши координати всіх векторів, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

розв’яжемо яку методом Крамера:
, ,
, ;
, , .
Таким чином, в базисі вектор має координати .

9. Знайти розмірність та базис суми й перетину підпросторів і , якщо , , ; , .

Розв’язання.
Знайдемо розмірність підпросторів , і . Для цього запишемо матриці, побудовані з координат векторів та за допомогою елементарних перетворень приведемо їх до ступінчастого вигляду:

, базис ;
, базис ;

, базис .
Таким чином, будемо мати, що .
Вектор базису перетину належить й базису підпростору й базису підпростору , тобто його можна записати у вигляді
.
Підставимо замість векторів їх координати, отримаємо однорідну СЛАР:
або
Знайдемо її ФСР:

.
Загальний розв’язок:

ФСР: .
Таким чином,
,
,
,
отже вектор – шуканий вектор базису перетину .

10. Знайти розклад елемента простору по базису , , , .

Розв’язання.
За означенням, розклад елемента по базису має вигляд:

або в нашому випадку
.
Інакше кажучи, треба знайти коефіцієнти в розкладі многочлена по степенях . Для пошуку коефіцієнтів скористаємось схемою Горнера:

3 0 7 1
25 3 75 1882 47051
25 3 150 5632
25 3 225
25 3
Будемо мати:

або
.

11. Вказати який-небудь базис простору квадратних матриць третього порядку та знайти розклад елемента по цьому базису.

Розв’язання.
В якості прикладу візьмемо стандартний базис простору всіх квадратних матриць третього порядку:
, , , , ,
, , , .
Тоді матриця у вказаному базисі буде мати розклад:

або
.

12. Знайти загальний розв’язок та ФСР однорідної СЛАР:

Розв’язання.
Приведемо матрицю системи до ступінчастого виду:

.
Будемо мати, що система має безліч розв’язків. Запишемо систему, що відповідає отриманій ступінчастій матриці і розв’яжемо її:

– загальний розв’язок системи;
або – фундаментальна система розв’язків.

Розробка урока - Історія редагувань

Власова Олена: Лінійна алгебра