http://wiki.iteach.com.ua/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=Luydmila Iteach WIKI - Внесок користувача [uk] 2026-04-17T19:48:10Z Внесок користувача MediaWiki 1.24.1 http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=175147 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-10T07:37:19Z <p>Luydmila: /* Вік учнів, клас */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 13 років, 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> [[План вивчення теми &quot;Функцiя&quot;]]<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> [[Ученическая вики статья &quot;История развития понятия &quot;функция&quot;]]<br /> <br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=175103 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-10T07:26:44Z <p>Luydmila: /* Повний План вивчення теми */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас, 13 років<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> [[План вивчення теми &quot;Функцiя&quot;]]<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> [[Ученическая вики статья &quot;История развития понятия &quot;функция&quot;]]<br /> <br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=175099 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-10T07:25:35Z <p>Luydmila: /* Повний План вивчення теми */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас, 13 років<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> [http://План вивчення теми &quot;Функцiя&quot;]<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> [[Ученическая вики статья &quot;История развития понятия &quot;функция&quot;]]<br /> <br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=175093 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-10T07:23:43Z <p>Luydmila: /* Повний План вивчення теми */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас, 13 років<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> [План вивчення теми &quot;Функцiя&quot;]<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> [[Ученическая вики статья &quot;История развития понятия &quot;функция&quot;]]<br /> <br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_7.jpg&diff=174333 Файл:Kanaeva 7.jpg 2012-07-08T18:58:29Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174332 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:58:00Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Понятие функция имеет латинское происхождение<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Проследить, кто из великих ученых- математиков занимался функцией, изучением ее свойств.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Історія розвитку поняття “функція” <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_5.jpg|300px|left]]<br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності. <br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.) Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_6.jpg|200px|centre]]<br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y). Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s). Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу. В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”. Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції. Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями? Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції. <br /> <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_7.jpg|200px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”. Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”. Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x). Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним. <br /> <br /> <br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...). Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_6.jpg&diff=174324 Файл:Kanaeva 6.jpg 2012-07-08T18:52:23Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174322 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:51:59Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Понятие функция имеет латинское происхождение<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Проследить, кто из великих ученых- математиков занимался функцией, изучением ее свойств.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Історія розвитку поняття “функція” <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_5.jpg|300px|left]]<br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності. <br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.) Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_6.jpg|300px|centre]]<br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y). Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s). Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу. В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”. Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції. Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями? Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції. <br /> <br /> <br /> Ідея відповідності (19 століття). В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”. Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”. Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x). Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним. <br /> <br /> <br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...). Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174318 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:50:46Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Понятие функция имеет латинское происхождение<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Проследить, кто из великих ученых- математиков занимался функцией, изучением ее свойств.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Історія розвитку поняття “функція” <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_5.jpg|300px|left]]<br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності. <br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.) Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y). Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s). Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу. В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”. Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції. Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями? Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції. <br /> <br /> <br /> Ідея відповідності (19 століття). В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”. Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”. Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x). Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним. <br /> <br /> <br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...). Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_5.jpg&diff=174317 Файл:Kanaeva 5.jpg 2012-07-08T18:48:39Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174314 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:47:44Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Понятие функция имеет латинское происхождение<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Проследить, кто из великих ученых- математиков занимался функцией, изучением ее свойств.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Історія розвитку поняття “функція” <br /> <br /> [[Файл:kanaeva_5.jpg]]<br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності. <br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.) Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули. Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y). Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s). Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу. В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”. Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції. Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями? Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції. <br /> <br /> <br /> Ідея відповідності (19 століття). В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”. Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”. Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x). Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності. У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін. Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним. <br /> <br /> <br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...). Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174309 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:42:03Z <p>Luydmila: /* Мета дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Понятие функция имеет латинское происхождение<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Проследить, кто из великих ученых- математиков занимался функцией, изучением ее свойств.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174307 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:40:10Z <p>Luydmila: /* Гіпотеза дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Понятие функция имеет латинское происхождение<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174304 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:39:25Z <p>Luydmila: /* Проблема дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174303 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:39:12Z <p>Luydmila: /* Тема дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174302 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:38:50Z <p>Luydmila: /* Тема дослідження */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Исследовать откуда произошло понятие &quot;функция&quot;. Каким оборазом происходило развитие значения этого понятия.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174301 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:37:39Z <p>Luydmila: /* Автори проекту */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Коваленко Наталья Борисовна, Иванов Дмитрий Сергеевич<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> ==Проблема дослідження==<br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174300 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:37:02Z <p>Luydmila: /* Назва проекту */</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> История развития понятия &quot;функция&quot;<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> ==Тема дослідження==<br /> ==Проблема дослідження==<br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B8%D0%BA%D0%B8_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D1%8F_%22%D0%3F%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B8%D1%82%D0%B8%D1%8F_%D0%BF%D0%BE%D0%BD%D1%8F%D1%82%D0%B8%D1%8F_%22%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D1%8F%22&diff=174299 Ученическая вики статья "?стория развития понятия "функция" 2012-07-08T18:36:24Z <p>Luydmila: Створена сторінка: [{{subst:Шаблон:Вікі-стаття учня}}]</p> <hr /> <div>[<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ==Автори проекту==<br /> ==Тема дослідження==<br /> ==Проблема дослідження==<br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> ==Мета дослідження==<br /> ==Результати дослідження==<br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=174296 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-08T18:34:26Z <p>Luydmila: /* Діяльність учнів (Скопіювати з Плану) */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас, 13 років<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> [[Ученическая вики статья &quot;История развития понятия &quot;функция&quot;]]<br /> <br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_4.jpg&diff=173945 Файл:Kanaeva 4.jpg 2012-07-06T16:30:17Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D1%82%D1%83%D0%B2%D0%B0%D1%87:Luydmila&diff=173944 Користувач:Luydmila 2012-07-06T16:28:24Z <p>Luydmila: /* Про мене */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> == Про мене ==<br /> [[Файл:kanaeva_4.jpg|200px]]<br /> <br /> ''Канаєва Людмила Леонідівна''<br /> <br /> ''м. Кіровоград, комунальний заклад &quot;Навчально-виховне об'єднання природничо-економіко-правовий ліцей - спеціалізована школа № 8 - позашкільний центр Кіровоградської міської рди Кіровоградської області!''<br /> <br /> ''Вчитель математики''<br /> <br /> == Мій внесок ==<br /> <br /> ''Мої проекти''<br /> <br /> ''Мої файли''<br /> <br /> ''Мої закладки''<br /> <br /> == Корисні посилання ==</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173627 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-06T08:10:50Z <p>Luydmila: /* Опис оцінювання */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас, 13 років<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> Оцінювання учнів повинно відбуватися впродовж всього проекту. Оцінювання ґрунтується на матеріалах які попередньо записані вчителем для учнів з метою виявлення та моніторингу розуміння учнями матеріалу, а також оцінюються їх знання та вміння на кінцевому етапі виконання. На початку роботи над проектом учні заповнюють таблицю З-Х-Д. Учні використовують форму оцінювання для самооцінювання свого проекту. Також для виставлення оцінки кінцевих презентацій необхідно ця ж форма оцінювання. Контрольний список питань до проекту допомагає учням планувати, а потім відстежувати свій прогрес під час виконання проекту . Після обговорення у класі необхідно оцінити ступінь розуміння теми учнів за допомогою письмових відповідей на Основні запитання до вивчення теми і запитання, які викладено в документі на розуміння процесу дослідження. Необхідно розробити критерії оцінювання самостійних та контрольних робіт, форми оцінювання роботи учнів в малих групах протягом роботи над проектом, критерії оцінювання учнівських презентацій та спільну роботу над дослідженням.<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173626 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-06T08:10:23Z <p>Luydmila: /* Вік учнів, клас */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас, 13 років<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9E%D0%B1%D0%B3%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8F:%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173589 Обговорення:Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-06T07:48:26Z <p>Luydmila: Створена сторінка: {{subst:Шаблон:Форма оцінювання демонстрації Портфоліо}}</p> <hr /> <div><br /> '''ЯК ЗАЛИШАТИ КОМЕНТАРІ:'''<br /> <br /> <br /> 1.Увійдіть в вікі під власним логіном і паролем. <br /> <br /> 2. В режимі редагування увійдіть в відповідний розділ цієї статті, клацнувши на посилання '''ред.''' , що розташоване праворуч біля кожного розділу статті. <br /> <br /> 3. Внесіть свої коментарі у відповідний розділ. <br /> <br /> 4. Залишіть свій автоматичний підпис в кінці свого допису, натиснувши на кнопку '''Ваш підпис з часовою міткою''' (передостяння кнопка над вікном редагування).<br /> <br /> 5. Перегляньте свій допис, натиснувши на кнопку '''Попередній перегляд'''.<br /> <br /> 6. За потреби внесіть зміни до свого допису. Знову перегляньте його в '''Попередньому перегляді'''.<br /> <br /> 7. Якщо ваш допис виглядає, як ви очікували, натисніть на '''Зберегти сторінку'''. <br /> <br /> 8. Перейдіть до наступного розділу і внесіть свої коментарі, повторивши кроки 2-7 для кожного допису.<br /> <br /> УВАГА!<br /> <br /> =План вивчення теми (Ключові і Тематичні запитання, Стислий опис, Діяльність учнів, Навчальні цілі)=<br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> <br /> =План оцінювання (графік і опис)=<br /> <br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> <br /> =Приклад учнівської роботи=<br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> <br /> =Форма оцінювання прикладу учнівської роботи=<br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> <br /> =Допоможні матеріали для фасилітації=<br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> =Інші складові Портфоліо (документи)=<br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> <br /> =ПОРТФОЛІО ВИВЧЕННЯ ТЕМИ В ЦІЛОМУ=<br /> ==Вдалі моменти==<br /> <br /> ==Ідеї для покращення==<br /> <br /> =Закони з авторського права були дотримані (визначені власники авторських прав там, де використовуються різні джерела)=<br /> <br /> =ІНШІ КОМЕНТАРІ=<br /> [[Категорія:10 версія]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173417 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-06T06:05:01Z <p>Luydmila: /* Навчальні цілі */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> Після завершення проекту учні зможуть:<br /> <br /> - Представити результати своєї роботи у вигляді презентації; буклету;<br /> <br /> - Визначати позитивне в спілкуванні та обговоренні питання;<br /> <br /> - Збирати експериментальні дані з подальшою обробкою, впорядковувати їх, готувати для демонстрації, надавати пояснення, аргументувати та робити висновки;<br /> <br /> - Провести математичну обробку результатів експерименту по знаходженню середньої температури повітря;<br /> <br /> - Побудувати математичну модель зміни температури повітря протягом певного проміжку часу (Доба, тиждень, місяць) <br /> <br /> - Аналізувати, узагальнювати, робити висновки під час обговорення знайденої інформації;<br /> <br /> - визначати та складати алгоритм запису формули лінійної функції за її графіком. <br /> <br /> - будувати та читати графік лінійної функції; <br /> <br /> - пояснювати зв'язок між k і b та графіком; визначати за значеннями коефіцієнтів k і b розміщення графіків на координатній площині. <br /> <br /> - Створювати опорний конспект «Залежність між коефіцієнтами k і b і графіком функції y = kx + b;<br /> <br /> - Знати означення функції, лінійної функції, області визначення, області значень функції, графіка функції,<br /> <br /> - Уміти читати графік функції і будувати графік функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Розуміти, що функція є математичною моделлю реальних процесів;<br /> <br /> - Знати способи задання функції;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції, яку задано формулою, при даному значенні функції змінної;<br /> <br /> - Уміти знаходити значення функції в найпростіших випадках;<br /> <br /> - Уміти будувати графік лінійної функції, що містить модуль;<br /> <br /> - Уміти задавати формулою лінійну функцію, що проходить через дві дані точки;<br /> <br /> - Уміти проводити дослідження взаємного розміщення графіків лінійних функцій залежно від кутового коефіцієнта;<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173415 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:57:34Z <p>Luydmila: /* Корисні ресурси */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.Дослідити історію розвитку поняття &quot;функція&quot; та властивостей функції.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|200px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> В результаті нашого дослідеження ми дізналися, що існує багато процесів, які можна описувати за допомогю правил, що мають назву функціональної залежності або функції. З'ясували, що на даний момент ми не можемо визначити правила за якими змінюється темперетура повітря. У світі існує багато функцій, вивченню яких буде присвячено навчання в наступних класах.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> http://uk.wikipedia.org/wiki/<br /> <br /> http://ibookiltd.host-bloger.ru/storja-rozvitku-ponjattja-funkcja<br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173413 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:57:15Z <p>Luydmila: /* Корисні ресурси */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.Дослідити історію розвитку поняття &quot;функція&quot; та властивостей функції.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|200px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> В результаті нашого дослідеження ми дізналися, що існує багато процесів, які можна описувати за допомогю правил, що мають назву функціональної залежності або функції. З'ясували, що на даний момент ми не можемо визначити правила за якими змінюється темперетура повітря. У світі існує багато функцій, вивченню яких буде присвячено навчання в наступних класах.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> http://uk.wikipedia.org/wiki/<br /> http://ibookiltd.host-bloger.ru/storja-rozvitku-ponjattja-funkcja<br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173409 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:51:32Z <p>Luydmila: /* Висновки */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.Дослідити історію розвитку поняття &quot;функція&quot; та властивостей функції.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|200px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> В результаті нашого дослідеження ми дізналися, що існує багато процесів, які можна описувати за допомогю правил, що мають назву функціональної залежності або функції. З'ясували, що на даний момент ми не можемо визначити правила за якими змінюється темперетура повітря. У світі існує багато функцій, вивченню яких буде присвячено навчання в наступних класах.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173401 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:43:16Z <p>Luydmila: /* Мета дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.Дослідити історію розвитку поняття &quot;функція&quot; та властивостей функції.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|200px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173400 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:41:04Z <p>Luydmila: /* Висновки */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|200px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173397 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:32:10Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|200px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173396 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:31:01Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg|400px|left]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva8.jpg&diff=173395 Файл:Kanaeva8.jpg 2012-07-06T05:29:56Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173394 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:28:56Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg|400px|left]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> [[Файл:Kanaeva8.jpg]]<br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_3.jpg&diff=173393 Файл:Kanaeva 3.jpg 2012-07-06T05:26:42Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173391 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-06T05:24:58Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.Інтуїтивно, функція — це певне «правило», або «перетворення», яке зіставляє унікальне вихідне значення кожному вхідному значенню. Наприклад, в кожної особи є улюблений колір (жовто-блакитний, помаранчевий, біло-синій тощо). Улюблений колір є «функцією особи», тобто, наприклад, у Віктора улюбленим є помаранчевий, у Людмили — біло-синій. Тобто, вхідними значеннями тут є особи, вихідними — улюблені кольори. Або, наприклад, час, необхідний камінцю, кинутому з певної висоти, щоби досягнути землі, залежить від цієї висоти, яка тут виступає як вхідне значення, а час, який камінець знаходиться в польоті — в якості вихідного значення.<br /> «Правило», яке визначає функцію, може бути задане формулою, певним співвідношенням або просто таблицею, в якій перелічені всі можливі комбінації вхідних та вихідних значень. Найважливішою ознакою звичайної функції є те, що вона завжди продукує однаковий результат на подане вхідне значення. Вхідне значення часто називають аргументом функції, вихідне — значенням функції<br /> Зазвичай в функціях аргументами та значеннями виступають числа, і функціональна залежність задається формулою. Значення функції отримується безпосередньою підстановкою аргумента в формулу. Прикладом такої функції може бути квадратична залежність: f(x) = x^2, яка зіставляє кожному аргументу його квадрат.<br /> В більш загальному випадку, функція може бути залежною від декількох аргументів.<br /> Втім, в сучасній математиці і природничих науках розглядаються функції, які не можуть бути явно задані формулами, тому сучасна інтерпретація поняття «функція» визначає її як певне відображення, відповідність між деякими множинами A (множиною або областю визначення) та B (яку іноді називають областю значень, хоча це й не зовсім правильно), отже таке відображення, яке зіставляє кожному елементу з множини A єдиний елемент з множини B. В теорії множин такі функції зручно визначати за допомогою відповідностей між множинами. В такій узагальненій інтерпретації функція стає фундаментальним поняттям практично в кожній галузі математичних знань.<br /> <br /> Історія розвитку поняття “функція”<br /> <br /> Ідея функціональної залежності сходить до стародавності. Її втримування виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі й обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4-5тис.років тому) нехай несвідомо, установили, що площа кругу є функцією від його радіуса за допомогою знаходження грубо наближеної формули: S=3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків і індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кругу й квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали як геометричні образи відповідної залежності.<br /> <br /> Введення поняття функції через механічне й геометричне подання (17 століття.)<br /> Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку із проникненням у математику ідеї змінних, поняття функції явно й цілком свідомо застосовується. <br /> Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Виет і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, що незабаром одержала загальне визнання. Уведене було єдине позначення: невідомих - останніми буквами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але й багато хто інші; у математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.<br /> Крім того, у Декарта й Ферма (1601-1665) у геометричних роботах з'являється виразне подання змінної величини й прямокутної системи координат. У своїй “Геометрії” в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати крапки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притім переважно алгебраїчних. Поступове поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного вираження - формули. В 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється із часом (називав в “флюентой”). <br /> В “Геометрії” Декарта й роботах Ферма, Ньютона й Лейбница поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було зв'язано або з геометричними, або з механічними поданнями: ординати крапок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п. <br /> <br /> Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття). <br /> Саме слово “функція” (від латинського functio -здійснення, виконання) уперше було вжито німецьким математиком Лейбницем в 1673р. у листі до Гюйгенсу (під функцією він розумів відрізок, довжина якого міняється по якому-небудь певному законі), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбниц увів також терміни “змінна” і “константа”. В 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншої. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Иоганн Бернуллі (1667-1748), що в 1718 році визначив функцію в такий спосіб: “функцією змінної величини називають кількість, утворена яким завгодно спосіб із цієї змінної величини й постійних”. Для позначення довільної функції від x Бернуллі застосував знак ?(x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або ? ; Лейбниц уживав x1, x2 замість сучасних f1(x) , f2(x). Эйлер позначив через f : y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f(x), f(x+y).<br /> Поряд з ( Эйлер пропонує використовувати букви (,( і інші. Даламбер зробив крок уперед на шляху до сучасних позначень, відкидаючи двокрапку Эйлера; він пише, наприклад, (t, ((t+s).<br /> Остаточне формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Эйлер (в “Введенні в аналіз нескінченного”): “Функція змінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь образом із цієї кількості й чисел або постійних кількостей”. Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) і інші видні математики. Що стосується Эйлера, те він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення; у його роботах поняття функції піддавалося подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.<br /> В “Диференціальному обчисленні”, що вийшло у світло в 1755 році, Эйлер дає загальне визначення функції: “Коли деякі кількості залежать друг від друга таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, те перші називають функцією других”. “Це найменування, - продовжує далі Эйлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших”.<br /> Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним вираженням. Нові кроки в розвитку природознавства й математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.<br /> Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, із приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними вираженнями?<br /> Великий внесок у дозвіл суперечки Эйлера, Даламбера, Бернуллі й інших учених 18 століття із приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є (1768-1830), що займався в основному математичною фізикою. У Паризьку АН представляються, що їм в, в 1807-1811 р. Мемуарах по теорії поширення тепла у твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. <br /> Із праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена у вигляді єдиного аналітичного вираження й що є також переривані криві, зображувані аналітичним вираженням. У своєму “Курсі алгебраїчного аналізу”, опублікованому в 1721р., французький математик О.Коші обґрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на відомому етапі розвитку фізики й математики стало ясно, що доводиться користуватися й такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідне математикою й природознавством розширення поняття функції.<br /> [[Файл:Kanaeva_3.jpg]]<br /> Ідея відповідності (19 століття). <br /> В 1834 році в роботі “Про исчезании тригонометричних рядків” Н.И.Лобачевский, розвиваючи вищезгадане эйлеровское визначення функції в 1755р., писав: “Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, що дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано й аналітичним вираженням, або умовою, що подає кошти випробовувати всі числа й вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомої... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому розумінні, щоб числа, одні з іншими у зв'язку, приймати як би даними разом”.<br /> Ще до Лобачевского аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільне від згадуванні про аналітичне завдання, звичайно приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося й до нього. В 1837 році німецький математик П.Л. Дирихле так сформулював загальне визначення поняття функції: “y є функція змінної x (на відрізку a ( x ( b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає зовсім певне значення y, причому байдуже яким образом установлена ця відповідність - аналітичною формулою, графіком, таблицею або навіть просто словами”.<br /> Прикладом, що відповідає цьому загальному визначенню, може служити так звана “функція Дирихле” ((x).<br /> Ця функція задана двома формулами й словесно. Вона відіграє відому роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, що не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного вираження, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.<br /> У другій половині 19 століття після створення теорії множин у поняття функції, крім ідеї відповідності була включена й ідея безлічі. Таким чином, у повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється в такий спосіб: якщо кожному елементу x безлічі А поставлений у відповідність деякий певний елемент y з безлічі В, те говорять, що на безлічі А задана функція y=f(x), або що безліч А відображена на безліч У. У першому випадку елементи x безлічі А називають значеннями аргументу, а елементи їхньої безлічі В - значеннями функції; у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному змісті розглядають функції, певні для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a ( x ( b, про яке говориться у визначенні Дирихле. Досить указати, наприклад, на функцію-факторіал y=n!, задану на безлічі натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовне, звичайно, не тільки до величин і чисел, але й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур. При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна “функція” у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і ін.<br /> Подальший розвиток математичної науки в 19 столітті ґрунтувалося на загальному визначенні функції Дирихле, що стали класичним.<br /> <br /> Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).<br /> Уже із самого початку 20 століття визначення Дирихле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливіше була критика фізиків, що натрапили на явища, які зажадали більше широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострої після виходу у світло в 1930 році книги “Основи квантової механіки” Поля Дирака, найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дирак увів так звану дельта-функцію, що виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку із цим радянський математик Н.М. Гюнтер і інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого сторіччя роботи, у яких невідомими є не функції крапки, а “функції області”, що краще відповідає фізичній сутності явищ. Так, наприклад, температуру тіла в крапці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст.<br /> У загальному виді поняття узагальненої функції було уведено французом Лораном Шварцем. В 1936 році, 28-літній радянський математик і механік С.Л. Соболєв першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає й дельта-функцію, і застосував створену теорію до рішення ряду завдань математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні й послідовники Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов і ін.<br /> <br /> <br /> Бернуллі Иоганн (1667-1748 р.)<br /> Швейцарський математик. Був співробітником Лейбница в розробці диференціального й інтегрального обчислень, в області яких їм був зроблений ряд відкриттів. Дав перший систематичний виклад диференціального й інтегрального обчислень, просунув розробку методів рішення звичайних диференціальних рівнянь, поставив класичне завдання про геодезичні лінії й знайшов характерну геометричну властивість цих ліній, а пізніше вивів їхнє диференціальне рівняння.<br /> <br /> Больцано Бернард (1781-1848 р.)<br /> Чеський математик, філософ, теолог. Першим (1817) висунув ідею арифметичної теорії дійсного числа. У його творах можна знайти ряд фундаментальних понять і теорем аналізу, зв'язуються звичайно з більше пізніми дослідженнями інших математиків. В “Парадоксах нескінченного” (изд.1851) Больцано з'явився попередником Кантора в дослідженні нескінченних безлічей.<br /> <br /> Даламбер Жан Лерон (1717-1783 р.)<br /> Французький математик, механік філософ. Основні математичні дослідження ставляться до теорії звичайних диференціальних рівнянь. Дав (1748) метод рішення диференціального рівняння другого порядку із частками похідними, що виражає малі коливання нескінченної однорідної струни (хвильового рівняння), у вигляді суми двох довільних функцій. Йому належать також важливі результати в теорії звичайних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами й систем таких рівнянь першого й другого порядків. У теорії рядів його ім'я носить широко вживана достатня ознака збіжності. В алгебрі дав перше (не цілком строге) доказ основної теореми про існування кореня в алгебраїчного рівняння. Багато праці вклав в “Енциклопедію наук, мистецтв, ремесел”, для якої він написав всю фізико-математичну частину.<br /> <br /> Декарт Рене (1596-1650 р.)<br /> Французький філософ, математик, фізик. Він є одним з основоположників аналітичної геометрії. У його головній математичній праці “Геометрія” (1637) уперше уведена поняття змінної величини, створений метод координат (декартовы координати), уведені загальноприйняті тепер значки для змінних величин (x,y,z,...) буквених коефіцієнтів (a,b,c,...), ступенів (x3, a5,...). Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь; сформулював правило знаків для визначення числа позитивних і негативних корінь (правило Декарта); порушив питання про границі дійсних корінь і висунув проблему приводимости (подання цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді добутку двох функцій такого ж роду); указав, що рівняння третього ступеня розв'язно у квадратних радикалах і його коріннях перебувають за допомогою циркуля й лінійки, коли воно приводимо.<br /> <br /> Дирак Поль Адриен Моріс<br /> (1902-1984 р.)<br /> Англійський фізик-теоретик, один із засновників квантової механіки. Основні праці в математику по функціональному аналізі й математичній фізиці (рівняння Дирака, функція-дельта-функція Дирака, статистика Ферми-Дирака). Нобелівська премія (1933).<br /> <br /> Дирихле Петер Густав Лежен (1805-1859 р.)<br /> Німецький математик. Основні праці по теорії чисел і математичному аналізу. Уперше точно сформулював і досліджував поняття умовної збіжності ряду (так звана ознака Дирихле), дав (1829) строгий доказ можливості розкладання в ряд Фур'є функцій, що має кінцеве число максимумів і мінімумів.<br /> <br /> Лейбниц Готфрид Вільгельм<br /> (1646-1716 р.)<br /> Німецький математик, фізик, філософ, винахідник, історик, мовознавець. У математику його найважливішою заслугою є розробка (поряд з Ньютоном) диференціального й інтегрального обчислення. Дав визначення диференціала й інтеграла, розробив правила диференціювання суми, різниці, добутку, частки будь-якого постійного ступеня, дав визначення екстремальних крапок і крапок перегину, установив взаємно зворотний характер основних операцій аналізу - диференціювання й інтегрування. Заклав основи теорії рядів і теорії диференціальних рівнянь. Їм запропоновані математичні символи й терміни, що ввійшли в загальне застосування - функція, диференціал, диференціальні рівняння, алгоритм, координати, алгебраїчні й трансцендентні криві, модель і ін. Винайшов рахункову машину й перший інтегруючий механізм, передбачив деякі ідеї матлогики, виклав початку теорії визначників.<br /> <br /> Лобачевский Микола Іванович (1792-1856 р.)<br /> Російський математик. Творець (1826) неевклідової геометрії. Дав (1834) метод наближеного рішення алгебраїчних рівнянь вищих ступенів; вніс значний вклад у теорію визначників. В області аналізу Лейбниц одержав нові результати в теорії тригонометричних рядів. Їм же встановлений один з найбільш зручних методів наближеного рішення рівнянь (метод Лобачевского).<br /> <br /> Ньютон Исаак (1643-1727 р.)<br /> Англійський фізик, математик, механік і астроном. Одночасно з Лейбницем, але незалежно від нього, розробив диференціальне й інтегральне обчислення. Створюючи математикові безперервних процесів, Ньютон в основу поняття флюксии (похідній) і флюенты (інтеграла). У роботі “Аналіз за допомогою рівнянь із нескінченним числом членів” (1669, опубл.1711) даний метод обчислень і обчислень функцій - наближення нескінченними рядами, що мав згодом величезне значення для всього аналізу і його додатків. У цій же праці викладений метод чисельного рішення алгебраїчних (метод Ньютона). Найбільш повний виклад диференціального й інтегрального обчислення втримується в трактаті “Метод флюксий і нескінченних рядів” (1670-71, опубл.1736), у якому в механічних і математичних вираженнях сформульовані обидві взаємно зворотні завдання аналізу, застосований метод флюксий, до многим геометричних завдань, вирішені завдання інтегрування звичайних диференціальних рівнянь шляхом подання рішення у вигляді нескінченного статечного ряду, дана формула (біном Ньютона) для будь-якого дійсного показника.<br /> <br /> Репетуємо Никола (ок.1323-1382 р.)<br /> Французький математик, фізик і економіст. Довів (ок.1350) расходимость гармонійного ряду. В 1368 р. виклав вчення про ступінь із дробовими показниками. Написаний ним “Трактат про сферу” зіграв значну роль у розробці французькій наукової (астрономічної й географічної) термінології.<br /> <br /> Соболєв Сергій Львович <br /> (рід. в 1908р.)<br /> Радянський математик. Основні праці по теорії рівнянь із частками похідними, математичній фізиці, функціональному аналізу й обчислювальній математиці. Запропонував новий метод рішення гіперболічних рівнянь із частками похідними, спільно зі Смирновим В.И. розробив метод інваріантних-функціонально-інваріантних рішень для динамічних коливань шаруватих середовищ. Їм почате систематичне застосування функціонального аналізу в теорії рівнянь із частками похідними. Їм же уведений клас функціональних просторів і досліджене співвідношення вкладення для просторів. Увів поняття узагальненого рішення рівняння із частками похідними й дав перше (1935) строге визначення узагальненої функції; за допомогою цих понять розглянув деякі крайові завдання для рівняння із частками похідними. В області обчислювальної математики Соболєв увів поняття обчислювальних алгоритмів, що замикаються, дав точну оцінку норм погрішності кубатурных формул.<br /> <br /> Ферма Пьер (1601-1665 р.)<br /> Французький математик. Одержав важливі результати в теорії чисел, алгебрі, геометрії, теорії імовірності. Автор ряду видатних робіт. Ферма є одним із творців теорії чисел, з його ім'ям зв'язані велика й мала теореми Ферма. Разом з Декартом є основоположником аналітичної геометрії. В області методу нескінченно малих дав загальне правило диференціювання статечної функції, що поширив на будь-які раціональні показники.<br /> <br /> Фур'є Жан Батист Жозеф (1768-1830 р.)<br /> Французький математик. У праці “Аналітична теорія тепла” (1822р.) вивів диференціальне рівняння теплопровідності й розробив метод його інтегрування при різних граничних умовах. В основі його методу лежить подання функції тригонометричними рядами (рядами Фур'є). Привів перший приклад розкладання в тригонометричні ряди функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними вираженнями. Розвив запропонований Даламбером для рішення хвильового рівняння метод поділу (метод Фур'є) змінних для вивчення завдань про коливання струни й теплопровідності стрижня.<br /> <br /> Эйлер Леонард (1707-1783 р.) <br /> Математик, фізик, механік, астроном. Народився у Швейцарії. Більше 30 років працював у Петербурзької АН. Список його праць містить близько 850 назв, у їхньому числі кілька багатотомних монографій по всіх основних розділах сучасної йому математиці і її додаткам. Заклав основи декількох математичних дисциплін. Перший систематично ввів у розгляд функції комплексного змінного, вивів (1743) формули, що зв'язують тригонометричні функції з показовими. Эйлер створив, як самостійну дисципліну, теорію звичайних диференціальних рівнянь, і заклав основи теорії рівнянь із частками похідними. Його ім'я носять підстановки Эйлера (1768) при заміні змінних у спеціальних інтегралах, Эйлеровы інтеграли (1731), метод ламаних Эйлера (1768) у чисельному рішенні звичайного диференціального рівняння, Эйлеровы кути (1748) у перетворенні координат, функція й теорема Эйлера (1763) у теорії чисел, пряма Эйлера (1765) у трикутнику, теорема Эйлера для опуклого багатогранника (1758), Эйлерова характеристика різноманіття, завдання Эйлера про Кенигсбергских мости (1736). Позначення: f(x) - 1734; e, ( - 1736; sin(x), cos(x) - 1748; tg(x) - 1753; (x, ( - 1755; i - 1777.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173235 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-05T13:16:57Z <p>Luydmila: /* Діяльність учнів (Скопіювати з Плану) */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|400 px|left]]<br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|400 px|]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_2.jpg&diff=173227 Файл:Kanaeva 2.jpg 2012-07-05T12:47:49Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173226 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-05T12:47:33Z <p>Luydmila: /* Діяльність учнів (Скопіювати з Плану) */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|300 px|left]]<br /> <br /> [[Файл:kanaeva_2.jpg|300 px]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173224 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-05T12:47:08Z <p>Luydmila: /* Діяльність учнів (Скопіювати з Плану) */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно познайомити з буклетом<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|300 px|left]]<br /> <br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|300 px]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173212 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-05T12:13:45Z <p>Luydmila: /* Діяльність учнів (Скопіювати з Плану) */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> <br /> За тиждень до початку проекту необхідно<br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg|300 px]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Kanaeva_1.jpg&diff=173210 Файл:Kanaeva 1.jpg 2012-07-05T12:12:32Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D0%BE%D1%80%D1%82%D1%84%D0%BE%D0%BB%D1%96%D0%BE_%D0%9A%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%94%D0%B2%D0%BE%D1%97_%D0%9B.%D0%9B._%D0%B7_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B8_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%22&diff=173209 Портфоліо Канаєвої Л.Л. з теми "Функція. Її секрети та графік" 2012-07-05T12:12:11Z <p>Luydmila: /* Діяльність учнів (Скопіювати з Плану) */</p> <hr /> <div><br /> <br /> =Назва проекту=<br /> &quot;Функція. Її секрети та графік&quot;<br /> <br /> =Основний та другорядні (дотичні) навчальні предмети=<br /> Математика (алгебра), технології, українська мова<br /> <br /> =Навчальна тема (як записано в програмі)=<br /> Функції<br /> <br /> =Вік учнів, клас=<br /> 7 клас<br /> ==Стислий опис проекту==<br /> Проект присвячений вивченню теми &quot;Функції&quot;. Проект &quot;Функція. Її секрети та графік&quot; присвячений важливому поняттю сучасної математики<br /> функціональній залежності. Вивчення функцій, їх поведінки та побудова їх графіків є важливим розділом<br /> шкільного курсу математики, оскільки знання побудови графіків часто допомагає вирішувати складні<br /> завдання, а інколи є єдиним засобом їх вирішення. Вміння будувати графіки функцій викликає великий інтерес<br /> в учнів. В процесі роботи над проектом в учнів розвивається абстрактне мислення і просторова уява.<br /> Матеріал проекту являє собою пізнавальний інтерес для учнів і може застосовуватися для різних груп<br /> школярів внаслідок своєї узагальненості та практичної спрямованості.<br /> <br /> ==Повний План вивчення теми==<br /> <br /> =Навчальні цілі=<br /> <br /> =Опис оцінювання=<br /> <br /> =Діяльність учнів (Скопіювати з Плану)=<br /> [[Учнівська вікі стаття &quot;Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком&quot; ]]<br /> <br /> [[Файл:kanaeva_1.jpg]]<br /> <br /> =Відомості про автора=<br /> ==Канаєва Людмила Леонідівна==<br /> ==Математика==<br /> ==Комунальний заклад &quot;НВО школа - ліцей № 8==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==luydakanaeva@gmail.com==<br /> <br /> =Відомості про тренінг=<br /> ==02-06.07.2012==<br /> ==м. Кіровоград==<br /> ==Литвиненко Ольга Валентинівна, Скрипка Ганна Володимирівна==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173159 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-05T10:49:35Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|200px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173151 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-05T10:45:38Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|400px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173146 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-05T10:44:51Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|400px|thumb|left]]<br /> Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенню аргументу, а ординати – відповідним значенням функції. <br /> [[Файл:image001.gif|400px|thumb|left]]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Image002.jpg&diff=173123 Файл:Image002.jpg 2012-07-05T10:35:20Z <p>Luydmila: </p> <hr /> <div></div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173121 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-05T10:34:44Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> <br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:image002.jpg|400px|thumb|left]]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%A3%D1%87%D0%BD%D1%96%D0%B2%D1%81%D1%8C%D0%BA%D0%B0_%D0%B2%D1%96%D0%BA%D1%96_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%82%D1%8F_%22%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%87%D1%97_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA._%D0%97%D0%B2%27%D1%8F%D0%B7%D0%BE%D0%BA_%D0%BC%D1%96%D0%B6_%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%BE%D1%8E_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D1%80%D0%B0%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%BE%D0%BC%22&diff=173108 Учнівська вікі стаття "Функція. Її графік. Зв'язок між формулою та графіком" 2012-07-05T10:24:16Z <p>Luydmila: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> ФУНКЦІЯ. ЇЇ ГРАФІК. ЗВ'ЯЗОК МІЖ ФОРМУЛОЮ ТА ГРАФІКОМ<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Іванова Галина Миколаївна, Василенко Галина Петрівна,<br /> Калиненко Микола Валентинович<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Функція. Її графік.<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Дослідити залежність зміни темпаретури повітря протягом доби, тижня, місяця.<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Температура повітря змінюється залежно від часу доби, дня тижня, дня місяця<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити за якою залежністю змінюється температура повітря протягом доби, протягом тижня, протягом місяця та побудувати горфіки зміни температури. Описати властивості даної залежності.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> На практиці часто трапляються відповідності між різними змінними. Наведемо приклади відповідностей, за яких кожному значенню однієї змінної відповідає певне значення другої змінної:<br /> Під час руху автомобіля кожному значенню часу відповідає певне значення шляху пройденого автомобілем;<br /> Кожному значенню радіуса кола відповідає певне значення довжини кола;<br /> Кожному значенню кількості товару відповідає певна його вартість;<br /> Кожному значенню напруги у даному провіднику відповідає певне значення сили струму;<br /> Кожному значенню довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда відповідає певне значення його об’єму;<br /> Кожному значенню об’єму і густини дерева відповідає певне значення маси дерев’яного бруска;<br /> Кожному значенню температури повітря відповідає певне значенн висоти стовпчика рідини в термометрі. <br /> Останньому ми приділили досить багато уваги і з'ясували, що:<br /> температура повітря зміюється протягом доби, протягом тижня, протягом місяця. За допомогою цих даних ми можемо побудувати графік зміни температури протягом доби:<br /> {|border=1<br /> |Час вимірювання температури<br /> |0<br /> |1<br /> |2<br /> |3<br /> |4<br /> |5<br /> |6<br /> |7<br /> |8<br /> |9<br /> |10<br /> |11<br /> |12<br /> |13<br /> |14<br /> |15<br /> |16<br /> |17<br /> |18<br /> |19<br /> |20<br /> |21<br /> |22<br /> |23<br /> |24<br /> |-<br /> |Температура повітря<br /> |<br /> -4<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -7<br /> |<br /> -6,5<br /> |<br /> -6<br /> |<br /> -5<br /> |<br /> -3,5<br /> |<br /> -2<br /> |0<br /> |1<br /> |1,5<br /> |2<br /> |3<br /> |3,5<br /> |4<br /> |4,5<br /> |3<br /> |2<br /> |1,5<br /> |1,5<br /> |1<br /> |0<br /> |<br /> -1<br /> |<br /> -2<br /> |}<br /> За даними цієї таблиці було побудовано графік зміни температури повітря протягом доби.<br /> [[Файл:.image001.jpg|400px|thumb|left]]<br /> За даним графіком зміни температури повітря протягом доби можна знайти в яких межах зміюється час, а також в яких межах змінюється температура повітря. Дану залежність можна легко виразити таблично, графічно, але досить складно виразити у вигляді формули або описати в декількох реченнях. Сформулювати правило, яке описує зміну температури повітря протягом доби мабуть буде можливо, коли буде введено досить багато параметрів. Це і географічні координати, і <br /> <br /> Співвідношення між двома величинами може виражатися формулою, причому ця формула допомагає знаходити будь-яку з цих двох величин через відому іншу шляхом певних обчислень.Незалежною змінною називають змінну, значення якої вибирають довільно. Незалежну змінну ще називають аргументом і позначають, як правило, х.Залежною змінною називають змінну, значення якої визначають значенням незалежної змінної. Залежну змінну називають функцією від аргумент і, як правило, позначають через у. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називають областю визначення функції. Множина D – область визначення функції. <br /> Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення (D), то вважають, що ця область – множина всіх значень змінної, при яких задана формула має зміст. Усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), називають областю значень функції.<br /> Можна сказати інакше.<br /> Область значень функції – це множина тих значень, яких може набути сама функція при всіх значеннях аргументу з області визначення.<br /> Для функції у = х^2 область значень – у ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа завжди більший або дорівнює нулю. (Множина значень даної функції - всі невід’ємні числа.)<br /> На рисунку зображено відповідність між числами 0, 25, 49,121 і числами квадрати яких дорівнюють цим числам. Чи є ця відповідність функцією?<br /> розв’язання: Задана відповідність не буде функцією, бо наприклад числу 25 із множини Х відповідає два числа – 5 і -5 – із множини У.<br /> [[Файл:imag001.jpg|400 px|thrumb|right]]<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Термін “функція” (від лат. functio – виконання) вперше ввів німецький математик Готфрід Лейбніц; у нього функція пов’язувалася з графіком.<br /> У подальшому швейцарський математик Іоганн Бернуллі й відомий учений член Петербурзької академії наук Леонард Ейлер розглянули функцію як аналітичний вираз. І лише чеський математик Бернард Больцано ввів функцію як залежність однієї змінної від другої.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div> Luydmila