http://wiki.iteach.com.ua/api.php?action=feedcontributions&feedformat=atom&user=%D0%A1%D0%90%D0%9B%D0%86%D0%A2%D0%A0%D0%90+%D0%AE%D0%9B%D0%86%D0%AF 2026-06-11T00:16:43Z Внесок користувача MediaWiki 1.24.1 http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=656215 2014-05-15T09:35:43Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Назва проекту */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Володарі світу.<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Многогранники були відомі ще в давнину.<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити історію розвитку математичних знань про многогранники.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [http://matematik.org.ua/?cat=18 Об’єднання вчителів математики] <br /> <br /> [http://formula.co.ua/polyhedron.php Математика для школи] <br /> <br /> [http://shkolyar.in.ua/mnogogrannyly/pranylni-mnogogrannyky Школяр України] <br /> <br /> [http://www.vedic-culture.in.ua/uk/nauka/astronomija/211-pohodzhennja-vsesvitu-i-vypadkovist.html Вся елементарна математика]<br /> <br /> [http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo15.htm Сторінки історії математики] <br /> <br /> [http://matematuka.inf.ua/rizne/hist_mat_bevz/hist_mat_bevz.html http://www.stellarium.org/uk/ Сторінки історії математики]<br /> <br /> [http://volochinaviv1.ucoz.ru/index/matematika/0-24 Сайт вчителя математики Валентини Волошкової]<br /> <br /> [http://wiki.fizmat.tnpu.edu.ua/index.php/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 Фізмат Вікіпедія]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=656210 2014-05-15T09:34:40Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Корисні ресурси */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Многогранники були відомі ще в давнину.<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити історію розвитку математичних знань про многогранники.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [http://matematik.org.ua/?cat=18 Об’єднання вчителів математики] <br /> <br /> [http://formula.co.ua/polyhedron.php Математика для школи] <br /> <br /> [http://shkolyar.in.ua/mnogogrannyly/pranylni-mnogogrannyky Школяр України] <br /> <br /> [http://www.vedic-culture.in.ua/uk/nauka/astronomija/211-pohodzhennja-vsesvitu-i-vypadkovist.html Вся елементарна математика]<br /> <br /> [http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo15.htm Сторінки історії математики] <br /> <br /> [http://matematuka.inf.ua/rizne/hist_mat_bevz/hist_mat_bevz.html http://www.stellarium.org/uk/ Сторінки історії математики]<br /> <br /> [http://volochinaviv1.ucoz.ru/index/matematika/0-24 Сайт вчителя математики Валентини Волошкової]<br /> <br /> [http://wiki.fizmat.tnpu.edu.ua/index.php/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 Фізмат Вікіпедія]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=656208 2014-05-15T09:33:56Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Корисні ресурси */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Многогранники були відомі ще в давнину.<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити історію розвитку математичних знань про многогранники.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [http://matematik.org.ua/?cat=18 Об’єднання вчителів математики] <br /> [http://formula.co.ua/polyhedron.php Математика для школи] <br /> [http://shkolyar.in.ua/mnogogrannyly/pranylni-mnogogrannyky Школяр України] <br /> [http://www.vedic-culture.in.ua/uk/nauka/astronomija/211-pohodzhennja-vsesvitu-i-vypadkovist.html Вся елементарна математика]<br /> [http://www.bymath.net/studyguide/geo/sec/geo15.htm Сторінки історії математики] <br /> [http://matematuka.inf.ua/rizne/hist_mat_bevz/hist_mat_bevz.html http://www.stellarium.org/uk/ Сторінки історії математики]<br /> [http://volochinaviv1.ucoz.ru/index/matematika/0-24 Сайт вчителя математики Валентини Волошкової]<br /> [http://wiki.fizmat.tnpu.edu.ua/index.php/%D0%93%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%80%D1%96%D0%BD%D0%BA%D0%B0 Фізмат Вікіпедія]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643913 2014-05-06T17:52:09Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Мета дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Многогранники були відомі ще в давнину.<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> Дослідити історію розвитку математичних знань про многогранники.<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643911 2014-05-06T17:48:34Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Гіпотеза дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> Многогранники були відомі ще в давнину.<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643908 2014-05-06T17:46:50Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643905 2014-05-06T17:46:21Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Висновки */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> <br /> ==Висновки==<br /> Отже, многогранники були відомі ще з давніх-давен. Ними цікавилися вчені різних епох, їм приписувалися містичні властивості.Ґрунтуючись на відомостях з історії науки, можна побачити, що математика виникла з практичних потреб людини, що вона розвивається в результаті розумової та практичної діяльності людей протягом тисячоліть, що окремі математичні поняття, твердження взято не звідкись, а тільки з дійсного світу.<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643880 2014-05-06T17:29:02Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: </p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643877 2014-05-06T17:26:57Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|200px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|200px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643876 2014-05-06T17:26:16Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок13jj.jpg‎ ‎|80px|thumb|right|Евклід]]<br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок12_bbnh.jpg|80px|thumb|left|Архімед]]<br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643873 2014-05-06T17:21:03Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643872 2014-05-06T17:20:26Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|80px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> ‎[[Файл:Рисунок7.gif‎|80px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|80px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|80px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|80px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643871 2014-05-06T17:19:58Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|70px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> <br /> ‎[[Файл:Рисунок7.gif‎|70px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|70px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|70px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|70px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643870 2014-05-06T17:19:15Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|70px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок7.gif‎|70px|thumb|left|Ікосаедр]]<br /> [[Файл:Рисунок8.gif‎|70px|thumb|right|Додекаєдр]]<br /> ‎[[Файл:Рисунок9.gif‎‎|70px|thumb|left|Куб]]<br /> [[Файл:Рисунок10.gif‎ ‎|70px|thumb|right|Октаедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643857 2014-05-06T17:14:36Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|50px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|200px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643856 2014-05-06T17:14:15Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> [[Файл:Рисунок6.gif‎|200px|thumb|right|Тетраедр]]<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643854 2014-05-06T17:11:06Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> ‎[[Файл:Рисунок15.png|200px|thumb|left|«Математика в дев’яти книгах»]]<br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643847 2014-05-06T17:05:44Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Єгипетські піраміди]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок4yyhh.jpg|200px|thumb|right|Фалес]]<br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643842 2014-05-06T17:03:40Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Підпис під зображенням]]<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> <br /> [[Файл:Назва_зображення.png|200px|thumb|left|Підпис під зображенням]]<br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=643840 2014-05-06T17:00:41Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg|200px|thumb|left|Підпис під зображенням]]<br /> [[Файл:Назва_зображення.png|200px|thumb|left|Підпис під зображенням]]<br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642038 2014-05-02T17:11:46Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> ----<br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> ----<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642037 2014-05-02T17:09:40Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642036 2014-05-02T17:09:07Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642035 2014-05-02T17:08:55Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> <br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642032 2014-05-02T17:04:33Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> <br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642031 2014-05-02T17:04:12Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> <br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642029 2014-05-02T17:01:51Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> <br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642026 2014-05-02T17:01:22Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. <br /> <br /> Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна<br /> <br /> піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково <br /> <br /> кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> <br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642024 2014-05-02T17:00:30Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.[[Файл:Рисунок4yyhh.jpg]]<br /> <br /> <br /> <br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642011 2014-05-02T16:57:06Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> [[Файл:Рисунок1566789.jpg]]<br /> <br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642010 2014-05-02T16:56:19Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> <br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642009 2014-05-02T16:56:06Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642007 2014-05-02T16:55:37Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні.Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> Фалеса.Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=642006 2014-05-02T16:54:55Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті і Вавилоні. Досить згадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них - піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат зі стороною 233 м і висота якої сягає 146,5 м(2). Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії.<br /> <br /> Фалеса.<br /> Його життя і про його внесок в геометрію. Фалес – філософ, державний діяч, купуць, інженер, астроном і математик. Історичних документів або будь-яких першоджерел про життя і діяльність Фалеса немає, його праці до нас не дійшли. Відомості про цю видатну античну постать, його здобутки, досягнення і відкриття отриманні з переказів і коментарів учених пізніших часів і тому різняться окремими фактами. Замолоду Фалес займався торгівлею, тому бував в Єгипті, де на той час було накопичено значну кількість математичних знань, зокрема геометричних. Єгипетські жерці старанно приховували від невірних знання якими вони володіли, щоб не підірвати авторитет «служителів богів». Випадок допоміг Фалесу ввійти в довіру і ознайомитися з деякими фактами, які приховували єгипецькі жерці. В цьому допомогло розвязання задачі, яка довгий час цікавила єгипецьких жерців. Задачу – визначити висоту однієї з єгипецьких пірамід – Фалес розвязав як припускають, з допомогою властивості подібних трикутників. У той час, коли сонячні промені падали під кутом 45 , тобто коли тінь від вертикально встановленої палиці дорівнювала її довжині, він виміряв довжину тіні від піраміди і тим самим визначив її висоту. Цей спосіб справив надзвичайне враження на жерців, і тому Фалес мав можливість познайомитися з основами знань які були їм відомі [5].<br /> <br /> Цікавим історичним документом є трактат «Математика в дев’яти книгах». Він дійшов до нас в редакції Лу Хуея (3 століття). «Математика в дев’яти книгах» - найдавніший математичний китайський твір, який дійшов до нас. Це була енциклопедія математичних знань для землемірів і будівельників, фінансових робітників і господарників, купців і ремісників. У п’ятій книжці розглядається вимірювання об’ємів. Розв’язуються стереометричні задачі на практиці, наприклад: побудова стін будівель, веж, укріплень. Крім того вказують правила обчислень об’ємів різноманітних тіл: піраміди, конуса, призми [7].<br /> <br /> Правильні многогранники. <br /> Здавна відомі п’ять правильних многогранників (так званих платонових тіл): тетраедр, гексаедр (куб), октаедр та ікосаедр. так назвали їх стародавні греки. Тетраедр у перекладі з грецької означає чотирикутник («тетра» - чотири. «едра» - сторона, грань). Гексаедр означає шестигранник і походить від грецького «гекса» - шість. Назва октаедр походить від грецького «окто» - вісім, що означає восьмигранник. Додекаедр означає дванадцятигранник від грецького «до дека» - двадцять і «едра» - сторона, грань і , отже, означає двадцятигранник [2].<br /> Однією з перших і найвідоміших шкіл була Піфагорійська, названа на честь свого засновника Піфагора. Піфагорійці вважали, що матерія складається з чотирьох основних елементів: вогню, землі, повітря та води. Існування п'яти правильних багатогранників вони відносили до будови матерії і Всесвіту. Згідно з цими думками, атоми основних елементів повинні мати форму різних тіл: Всесвіт – додекаедр; Земля – куб; Вогонь – тетраедр; Вода – ікосаедр; Повітря – октаедр.<br /> Пізніше вчення піфагорійців про правильні многогранниках виклав у своїх працях інший давньогрецький вчений, філософ - ідеаліст Платон. З тих пір правильні багатогранники стали називатися Платоновим тілами. Платон писав про них у своєму трактаті Тімей (360г до н. є.), де зіставив кожну з чотирьох стихій (землю, повітря, воду і вогонь) певному правильному многограннику. Земля зіставлялася кубу, повітря - октаедру, вода - ікосаедру, а вогонь - тетраедру. Для виникнення даних асоціацій були наступні причини: жар вогню відчувається чітко і гостро (як маленькі тетраедри); повітря складається з октаедрів: його дрібні компоненти настільки гладкі, що їх насилу можна відчути, вода виливається, якщо її взяти в руку, як ніби вона зроблена з безлічі маленьких кульок (до яких найближче ікосаедр), на противагу воді, абсолютно несхожі на кулю кубики складають землю, що служить причиною того, що земля розсипається в руках, на противагу плавному току води. <br /> З приводу п'ятого елементу, додекаедра, Платон зробив невиразне зауваження: «... його бог визначив для Всесвіту і вдався до нього в якості зразка» [3]. <br /> <br /> Також відомо що многогранниками цікавився і Евклід. Про його життя відомостей мало. Відомо, що жив в Александрії. Геометрії навчався в Афінах. Папп Александрійський зображає Евкліда як людину виключно чесну, тиху і скромну.<br /> Книги 11, 12, 13 «Основи» присвячені стереометрії, їм передує 28 означень. Тіло визначається як «те, що має довжину, ширину і глубину». Це означення подібне до означення точки, лінії та поверхні у книзі 1 і логічно не ефективне: надалі на нього автор ніде не посилається, не робить з нього ніяких висновків. Потім дається означення прямої, перпендикулярної до площини, і двох перпендикулярних площин. Евклід не доводить, що такі об’єкти насправді існують. В своїй праці «Основи» в 13 книзі Евклід розглядає правильні многогранники. Спочатку Евклід показує, що існують правильні многогранники, а саме показує, як вписати в сферу правильний: тетраедр, гексаедр, октаедр, додекаедр, ікосаедр. Далі доводить, що існує тільки п’ять правильних многогранників [4]. Ось кілька означень з книги «Основ» Евкліда: «Тілом називається те що має довжину, ширину і глибину. Межі тіла є поверхні… Піраміда є тіло, обмежене площинами, проведеними від якої-небудь площини до точки, поза цією останньою. Призма є тіло, обмежене площинами, з яких дві протилежні рівні, подібні і паралельні, решта ж є паралелограми… Куб є тіло, обмежене шістьма рівними квадратами» [1].<br /> <br /> Відкриття тринадцяти напівправильних опуклих багатогранників приписується Архімеду, він вперше перерахував їх в своїй роботі. Нажаль його праця не дійшла до нас, але посилання на цю роботу є в працях математика Паппа [6]. <br /> <br /> У 16 ст. знаменитий німецький астроном Йоганн Кеплер (1571-1630) пропонував модель побудови Всесвіту, що складалася з правильних багатогранниківі вписаних у них сфер, - так званий «кубок Кеплера».<br /> Кеплер вважав, що кожній планеті відповідає правильний багатогранник, у який вписано сферу орбіт планети. Вельми оригінальна космологічна гіпотеза Кеплера, в якій він спробував зв'язати деякі властивості Сонячної системи з властивостями правильних багатогранників. Кеплер припустив, що відстані між шістьма відомими тоді планетами виражаються через розміри п'яти правильних опуклих багатогранників ( Платонових тіл). Між кожною парою небесних сфер, по яких, відповідно до цієї гіпотези, обертаються планети, Кеплер вписав одне з Платонових тіл. Навколо сфери Меркурія, найближчої до Сонця планети, описаний октаедр . Цей октаедр вписаний в сферу Венери, навколо якої описаний ікосаедр. Навколо ікосаедра описана сфера Землі, а навколо цієї сфери - додекаедр. Додекаедр вписаний в сферу Марса, навколо якої описаний тетраедр. Навколо тетраедра описана сфера Юпітера, вписана в куб. Нарешті , навколо куба описана сфера Сатурна.<br /> Ця модель виглядала для свого часу досить правдоподібно. По-перше, відстані, обчислені за допомогою цієї моделі, були досить близькі до істинних ( з огляду на доступну тоді точність вимірювання ). По-друге, модель Кеплера давала поясненн , чому існує тільки шість (саме стільки було тоді відомо ) планет - саме шість планет гармоніювали з п'ятьма Платоновим тілами.<br /> Однак навіть на той момент ця приваблива модель мала один істотний недолік: сам же Кеплер показав, що планети обертаються навколо Сонця не по колах ( сферам, а по еліпсам (перший закон Кеплера. Годі й говорити, що пізніше, з відкриттям ще трьох планет і точнішим виміром відстаней, ця гіпотеза була повністю відкинута.<br /> <br /> Іншим видатним внеском Кеплера в геометрію багатогранників є відкриття їм двох зоряних правильних тіл. (Всього їх чотири; два інших знайшов французький математик Луї Пуансон в 1809 р.).<br /> А ось геометричний факт, відкритий відомим італійським математиком, учнем Галілея, Бонавентурою Кавальєрі (1598-1647), займає важливе місце в шкільній програмі. Цей факт дає змогу значно спростити розвязання певних задач на обчислення обємів тіл. Твердження, яке сьогодні називається «принципом Кавалбєрі», вперше було надруковано у 1635 р. в роботі Кавальєрі «Геометрія». Формулюється воно так: «Нехай дано два тіла, висоти яких рівні, а основи лежать в основній площині α. Якщо в перерізі двох тіл площиною, яка паралельна α, утворюються фігури, площі яких рівні, то обєми цих тіл рівні.<br /> Щоб зрозуміти це твердження , уявимо модель призми. Яка складається з тоненьких пластин, наприклад, це пачка паперу з тоненьких аркушів. Тепер уявимо, що ми розмістили цю пачку паперу на площині і штовхнули так щоб вона нахилилася і утворився похилий паралелепіпед. Форма моделі змінилася, а обєм залишився не змінним [2].<br /> <br /> Наступний серйозний крок, у науці про многогранники був зроблений в XVIII столітті Леонардом Ейлером (1707-1783). Л. Ейлер народився у Швейцарії у місті Базелі, але майже все життя прожив у Петербурзі. Він відрізнявся великою працездатністю і за своє життя написав близько 900 наукових праць. В 1752 р. у праці «Доведення чудових властивостей, яким підкорені тіла, обмежені плоскими гранями» Ейлор довів формулу В+Р-Г=2. Ця теорема про співвідношення між числом вершин, ребер і граней опуклого багатогранника, доведеня якої Ейлер опублікував. в «Записках Петербурзької академії наук», остаточно навела математичний порядок в різноманітному світі багатогранників.<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641986 2014-05-02T16:29:48Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Тема дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Чи мають многогранники свою історію?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> '''Піраміда'''<br /> Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.<br /> Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.<br /> <br /> Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.<br /> <br /> Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.<br /> Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.<br /> <br /> Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.<br /> <br /> Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.<br /> Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha,<br /> де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, \alpha — кут при вершині піраміди<br /> Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:<br /> V = \frac{1}{3} S h<br /> Бокові ребра піраміди рівні;<br /> Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;<br /> Проекція вершини піраміди на площину її основи співпадає із центром кола, описаного навколо основи.<br /> Такі три твердження також є еквівалентними:<br /> <br /> Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;<br /> Двогранні кути при основі піраміди рівні;<br /> Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.<br /> <br /> * Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:&lt;br/&gt; &lt;math&gt;S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha&lt;/math&gt;,&lt;br/&gt;де '''''P'''''&amp;nbsp;— периметр, '''''l'''''&amp;nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&amp;nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&amp;nbsp;— бічне ребро, &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— кут при вершині піраміди<br /> * Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':&lt;br/&gt; &lt;math&gt;V = \frac{1}{3} S h&lt;/math&gt;<br /> \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z<br /> \sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f<br /> \sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j<br /> \arcsin k \ \arccos l \ \arctan m<br /> \lim n \ \limsup o \ \liminf p<br /> \min q \ \max r \ \inf s \ \sup t<br /> \exp u \ \lg v \ \log w<br /> \ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641983 2014-05-02T16:28:25Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Автори проекту */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Історики&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> '''Піраміда'''<br /> Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.<br /> Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.<br /> <br /> Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.<br /> <br /> Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.<br /> Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.<br /> <br /> Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.<br /> <br /> Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.<br /> Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha,<br /> де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, \alpha — кут при вершині піраміди<br /> Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:<br /> V = \frac{1}{3} S h<br /> Бокові ребра піраміди рівні;<br /> Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;<br /> Проекція вершини піраміди на площину її основи співпадає із центром кола, описаного навколо основи.<br /> Такі три твердження також є еквівалентними:<br /> <br /> Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;<br /> Двогранні кути при основі піраміди рівні;<br /> Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.<br /> <br /> * Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:&lt;br/&gt; &lt;math&gt;S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha&lt;/math&gt;,&lt;br/&gt;де '''''P'''''&amp;nbsp;— периметр, '''''l'''''&amp;nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&amp;nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&amp;nbsp;— бічне ребро, &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— кут при вершині піраміди<br /> * Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':&lt;br/&gt; &lt;math&gt;V = \frac{1}{3} S h&lt;/math&gt;<br /> \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z<br /> \sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f<br /> \sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j<br /> \arcsin k \ \arccos l \ \arctan m<br /> \lim n \ \limsup o \ \liminf p<br /> \min q \ \max r \ \inf s \ \sup t<br /> \exp u \ \lg v \ \log w<br /> \ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641881 2014-05-01T19:43:14Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> '''Піраміда'''<br /> Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.<br /> Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.<br /> <br /> Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.<br /> <br /> Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.<br /> Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.<br /> <br /> Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.<br /> <br /> Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.<br /> Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha,<br /> де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, \alpha — кут при вершині піраміди<br /> Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:<br /> V = \frac{1}{3} S h<br /> Бокові ребра піраміди рівні;<br /> Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;<br /> Проекція вершини піраміди на площину її основи співпадає із центром кола, описаного навколо основи.<br /> Такі три твердження також є еквівалентними:<br /> <br /> Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;<br /> Двогранні кути при основі піраміди рівні;<br /> Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.<br /> <br /> * Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:&lt;br/&gt; &lt;math&gt;S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha&lt;/math&gt;,&lt;br/&gt;де '''''P'''''&amp;nbsp;— периметр, '''''l'''''&amp;nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&amp;nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&amp;nbsp;— бічне ребро, &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— кут при вершині піраміди<br /> * Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':&lt;br/&gt; &lt;math&gt;V = \frac{1}{3} S h&lt;/math&gt;<br /> \sin x + \ln y +\operatorname{sgn} z<br /> \sin a \ \cos b \ \tan c \ \cot d \ \sec e \ \csc f<br /> \sinh g \ \cosh h \ \tanh i \ \coth j<br /> \arcsin k \ \arccos l \ \arctan m<br /> \lim n \ \limsup o \ \liminf p<br /> \min q \ \max r \ \inf s \ \sup t<br /> \exp u \ \lg v \ \log w<br /> \ker x \ \deg x \gcd x \Pr x \ \det x \hom x \ \arg x \dim x<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641880 2014-05-01T19:30:43Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> '''Піраміда'''<br /> Пірамі́да — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і точки (яка не лежить у площині основи) та всіх відрізків, що сполучають вершину піраміди з точками основи. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називаються бічними ребрами.<br /> Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Кожна бічна грань — трикутник. Однією з його вершин є вершина піраміди, а протилежною стороною — сторона основи піраміди.<br /> <br /> Висотою піраміди є перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину основи.<br /> <br /> Піраміда називається n-кутною, якщо її основою є n-кутник. Для трикутної піраміди існує власна назва — чотиригранник.<br /> Правильна піраміда (довершена) — якщо її основою є правильний багатокутник, центр якого збігається з основою висоти піраміди. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему.<br /> <br /> Вісь правильної піраміди — пряма, яка містить її висоту. У правильній піраміді бічні ребра рівні між собою, а бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники.<br /> <br /> Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. Бічною поверхнею піраміди називається сума площ її бічних граней.<br /> Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:<br /> S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha,<br /> де P — периметр, l — апофема, n — число сторін основи, b — бічне ребро, \alpha — кут при вершині піраміди<br /> Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи S на висоту h:<br /> V = \frac{1}{3} S h<br /> Бокові ребра піраміди рівні;<br /> Бокові ребра піраміди нахилені до площини її основи під рівними кутами;<br /> Проекція вершини піраміди на площину її основи співпадає із центром кола, описаного навколо основи.<br /> Такі три твердження також є еквівалентними:<br /> <br /> Вершина піраміди рівновіддалена від усіх сторін її основи;<br /> Двогранні кути при основі піраміди рівні;<br /> Вершина піраміди проектується до центру кола, вписаного в її основу.<br /> <br /> * Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку половини периметра (півпериметру) основи на апофему:&lt;br/&gt; &lt;math&gt;S_b = \frac{1}{2} P l = \frac{n}{2} b^2 \sin \alpha&lt;/math&gt;,&lt;br/&gt;де '''''P'''''&amp;nbsp;— периметр, '''''l'''''&amp;nbsp;— [[апофема]], '''''n'''''&amp;nbsp;— число сторін основи, '''''b'''''&amp;nbsp;— бічне ребро, &lt;math&gt; \alpha&lt;/math&gt;&amp;nbsp;— кут при вершині піраміди<br /> * Об'єм піраміди дорівнює одній третій добутку площі її основи '''''S''''' на висоту '''''h''''':&lt;br/&gt; &lt;math&gt;V = \frac{1}{3} S h&lt;/math&gt;<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641878 2014-05-01T19:26:17Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> '''Піраміда'''<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641877 2014-05-01T19:25:56Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> Піраміда<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641876 2014-05-01T19:25:41Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641874 2014-05-01T19:24:19Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Результати дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> == Піраміда ==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641872 2014-05-01T19:23:51Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Проблема дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Що ми знаємо про многогранники?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641870 2014-05-01T19:22:47Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Проблема дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> Чи знали про многогранники в давнину?<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641869 2014-05-01T19:21:42Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Тема дослідження */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641868 2014-05-01T19:21:32Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Назва проекту */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Хто захопив наш світ?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641867 2014-05-01T19:20:30Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Автори проекту */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> Учні 11 класу. Група &quot;Дослідники&quot;<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641866 2014-05-01T19:19:59Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: /* Назва проекту */</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> Які знання про многогранники допоможуть жити в сучасному суспільстві?<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%B5%D0%BA%D1%82_%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%83&diff=641858 2014-05-01T18:50:52Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: Замінено вміст на « {{subst:Шаблон:Вікі-стаття учня}}»</p> <hr /> <div> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> ==Назва проекту==<br /> <br /> ==Автори проекту==<br /> <br /> ==Тема дослідження==<br /> <br /> ==Проблема дослідження==<br /> <br /> ==Гіпотеза дослідження==<br /> <br /> ==Мета дослідження==<br /> <br /> ==Результати дослідження==<br /> <br /> ==Висновки==<br /> <br /> ==Корисні ресурси==<br /> <br /> [[Категорія: Шаблони]]</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ http://wiki.iteach.com.ua/index.php?title=28.03.14._%D0%92%D1%96%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%86%D1%8F._%D0%9C%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8C_6._%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0_2.2&diff=620780 2014-04-04T04:18:41Z

<p>САЛІТРА ЮЛІЯ: </p> <hr /> <div>Як навчити учнів безпечній роботі в Інтернеті? Хто це має зробити? Кого можна залучити? З якого віку потрібно починати цю роботу? <br /> <br /> {| border=1<br /> !width=60% bgcolor=#CCFF00 | '''&lt;font color=&quot;violet&quot;&gt;«Проблеми»&lt;/font&gt;'''<br /> !width=60% bgcolor=#CCFF00 | '''&lt;font color=&quot;violet&quot;&gt;«Шляхи вирішення»&lt;/font&gt;'''<br /> |-<br /> | Невміле користування інтернетом<br /> | Проведення консультацій та надання відповідних рекомендацій<br /> |-<br /> | Відвідування сайтів, які можуть спричинити нестабільну роботу комп'ютера<br /> | Встановлення відповідного програмного забезпечення<br /> |-<br /> | Початок роботи в ранньому віці<br /> | Використання коригуючих програм при роботі в інтернеті<br /> |-<br /> |<br /> |<br /> |}</div>

САЛІТРА ЮЛІЯ